21.排列组合问题的常见错解剖析VIP专享VIP免费

备课资讯21排列组合问题的常见错解剖析一、两个原理混淆两个原理的区别在于一个与分类有关，一个与分步有关．【例1】某校高一有6个班，高二有5个班，高三有8个班，各年级分别举行班与班之间篮球单循环赛，则共需要进行比赛的场数为()A．C26C25C28B．C26＋C25＋C28C．A26A25A28D．C219错解依题意，高一比赛有C26场，高二比赛有C25场，高三比赛有C28场，由分步计数原理，得共需要进行比赛的场数为C26C25C28，选A.剖析结合题意，各年级之间进行的比赛是分类计数，而不是分步计数．正解依题意，高一比赛有C26场，高二比赛有C25场,高三比赛有C28场，由分类计数原理，得共需要进行比赛的场数为C26＋C25＋C28，选B.二、排列组合混淆怎样界定排列与组合问题？唯一的标准是“顺序”，“有序”是排列问题，“无序”是组合问题，排列与组合问题并存时，一般采用先组合后排列的方法．【例2】7位身高各不相同的同学排成一排，要求正中间的最高，左右两边分别顺次一个比一个矮，这样的排法共有多少种？错解1最高的同学必须站在中间，再从其他6位同学中选取3位同学，有A36种，剩下的3位同学也有A33种，故共有A36A33＝720种．错解2最高的同学必须站在中间，再从其他6位同学中选取3位同学按从高到矮的顺序站在一边，有C36种；剩下的3位同学也按从高到矮的顺序站在另一边，有C33种．又两边可以交换，故共有C36A22＝40种．剖析本题看似排列问题，其实是组合问题．正解最高的同学必须站在中间，再从其他6位同学中选取3位同学按从高到矮的顺序站在一边，有C36种，则剩下三位同学的位置已定．故共有C36＝20种．三、重复计数【例3】7个人排成一排，甲不在排头，乙不在排尾的排法有几种？错解1排在排头的有除甲之外的A16种情形，排在排尾的也有除乙之外的A16种情形，两端排好后余下的排中间有A55种情形，所以不同的排法有A16A16A55＝4320种．错解2头尾两个位置可从甲、乙之外的5人中选两人来排，有A25种排法，余下的人排中间有A55种排法，所以甲、乙不在排头、排尾的排法有A25A55种；又甲、乙分别在排尾、排头的排法各有A66种，因此不同的排法共有A25A55＋2A66＝3840种．剖析对于错解1中排排头的6种情形也有乙不在排尾的情况，因此重复计算了5A55种情形．对于错解2中甲在排尾且乙在排头已包含在甲在排尾或乙在排头的情形中，因此重复计算了A55种排法．正解1在错解1中，减去重复数，应为A16A16A55－5A55＝3720种排法．正解2在错解2中，减去重复数，应为A25A55＋2A66－A55＝3720种排法．四、遗漏计数【例4】A、B、C、D、E五人站成一排，如果B必须站在A的右边(A、B可以不相邻)，那么不同的站法有()A．24种B．60种C．90种D．120种错解把A、B“捆绑”为一个元素(B在A的右边)，与C、D、E一起全排列，有A44＝24种站法，故选A.剖析审题不严，未注意到“A、B可以不相邻”而漏解．正解1按A的位置分为四类：A排第一、二、三、四位时的排法数分别是A44、3A33、2A33、A33，所以共有A44＋3A33＋2A33＋A33＝60种排法，选B.正解2利用对称关系(注意到A在B左边与A在B右边的排列情形是对称相同的)，故有A552＝60种，选B.返回