3．2.2函数模型的应用举例学习目标学习目标1.了解函数模型的广泛应用．2．掌握求解函数应用题的基本步骤．课堂互动讲练知能优化训练3．2.2课前自主学案课前自主学案温故夯基温故夯基我们目前已学习了以下几种函数一次函数______________；二次函数__________________；指数函数_______________；对数函数___________________；幂函数______(α为常数)．它们都与现实世界有着密切的联系，有着广泛的应用．y＝kx＋b(k≠0)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)y＝ax(a＞0且a≠1)y＝logax(a＞0且a≠1)y＝xα知新益能知新益能根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程问题探究问题探究一次函数y＝kx＋b(k＞0)，指数函数y＝ax(a＞1)，对数函数y＝logax(a＞1)增长有什么特点？提示：一次函数直线上升，其增长量固定不变；指数增长，其增长量成倍增加，增长速度是直线上升所无法企及的．随着自变量的不断增大，直线上升与指数增长的差距越来越大，当自变量很大时，这种差距大得惊人，所以“指数增长”可以用“指数爆炸”来形容．对数增长，其增长速度平缓，当自变量不断增大时，其增长速度小于直线上升的速度．课堂互动讲练考点突破考点突破已知函数模型的应用题若题目中给出了模型函数的解析式或者是图象，则利用函数性质解决实际问题．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝400x－12x20≤x≤40080000x＞400.其中x是仪器的月产量．(1)将利润表示为月产量的函数f(x)；(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)例例11【思路点拨】根据实际生活中利润＝总收益－总成本列出等量关系．【解】(1)设每月产量为x台，则总成本为20000＋100x，从而f(x)＝－12x2＋300x－200000≤x≤40060000－100xx＞400.(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－12(x－300)2＋25000，∴当x＝300时，有最大值25000；当x＞400时，f(x)＝60000－100x是减函数，f(x)＜60000－100×400＜25000.∴当x＝300时，f(x)的最大值为25000.∴每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元．分段函数型的函数最值问题的应用．【名师点拨】在函数应用题中，已知的等量关系是解题的依据，像此题中的利润＝总收益－总成本，又如“销售额＝销售价格×销售数量”等，本题是通过对题意的理解，将实际问题的文字语言转化为数学语言，用数学式子表示出文字关系，从而解决问题．自建函数模型解应用题据调查，某贫困地区约有100万从事传统农业的农民，人均年收入仅有3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资金，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据估计，如果有x(x＞0)万人进企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均年收入有望提高2x%，而进入企业工作的农民的人均年收入为3000a元(a＞0)．例例11(1)在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求x的取值范围；(2)在(1)的条件下，当地政府应该如何引导农民(即x多大时)，能使这100万农民的人均年收入达到最大？【思路点拨】①中是两类人收入的不等式关系，求x.②是100万人的均收入，求其最大值．【解】(1)由题意得：(100－x)3000×(1＋2x100)≥100×3000，即x2－50x≤0，解得0≤x≤50.又 x＞0，∴0＜x≤50.(2)设这100万农民的人均年收入为y元，则y＝100－x3000×1＋2x100＋3000ax100＝－60x2＋3000a＋1x＋300000100.即y＝－35[x－25(a＋1)]2＋3000＋375(a＋1)2,0＜x≤50.当0＜25(a＋1)≤50且a＞0，即0＜a≤1时，x＝25(a＋1)时，y取最大值．当25(a＋1)＞50即a＞1时，y在(0,50]单调递增，∴当x＝50时，y取最大值．∴在0＜a≤1时，安排25(a＋1)万人进入企业工作，在a＞1时安排50万人进入企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大．【名师点拨】本题是一个关注民生的实际问题，应认真阅读，理解题意，转化为数学语言，寻找变量之间的联系．然后对此二次函数进行研究得出相关数学结论，并依此解决实际问题．自我挑...
