内蒙古伊图里河高级中学高三数学复习：导数在研究函数性质中的应用主干知识整合1．导数的几何意义2．函数的单调性与导数如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个区间上大(小)于零恒成立．在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，如函数y＝x＋sinx.3．函数的导数与极值对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件，但对不可导的函数，可能在极值点处函数的导数不存在(如函数y＝|x|在x＝0处)，因此对于一般函数而言，导数等于零既不是函数取得极值的充分条件也不是必要条件．4．闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值的最小者．5．定积分与曲边形面积(1)曲边为y＝f(x)的曲边梯形的面积：在区间[a，b]上的连续的曲线y＝f(x)，和直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0所围成的曲边梯形的面积S＝.当f(x)≥0时，S＝f(x)dx；当f(x)<0时，S＝－f(x)dx.(2)曲边为y＝f(x)，y＝g(x)的曲边形的面积：在区间[a，b]上连续的曲线y＝f(x)，y＝g(x)，和直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0所围成的曲边梯形的面积S＝|f(x)－g(x)|dx.当f(x)≥g(x)时，S＝[f(x)－g(x)]dx；当f(x)
0)的一条切线，则实数b＝________.(2)已知f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝－(x－1)2＋1，满足f[f(a)]＝的实数a的个数为________．(1)－ln2－1(2)8【解析】(1)切线的斜率是2，根据导数的几何意义可以求出切点的横坐标，进而求出切点的坐标，切点在切线上，代入即可求出b的值．y′＝，令＝2得x＝，故切点为，代入直线方程，得ln＝2×＋b，所以b＝－ln2－1.(2)如图所示，f(x)＝有四个解：－1－，－1＋，1－，1＋.所以f(a)＝－1－或f(a)＝－1＋或f(a)＝1－，当f(a)＝－1－时，a有2个值对应；当f(a)＝－1＋时，a有2个值对应；当f(a)＝1－时，a有4个值对应，综上可知满足f[f(a)]＝的实数a有8个．探究点二导数在研究函数中的应用例2[2011·北京卷]已知函数f(x)＝(x－k)2e.(1)求f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤，求k的取值范围．【解答】(1)f′(x)＝(x2－k2)e.令f′(x)＝0，得x＝±k.当k＞0时，f(x)与f′(x)的情况如下：1x(－∞，－k)－k(－k，k)k(k，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)4k2e－10所以，f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)；单调递减区间是(－k，k)．当k＜0时，f(x)与f′(x)的情况如下：所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)；单调递增区间是(k，－k)．(2)当k＞0时，因为f(k＋1)＝e＞，所以不会有∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤.当k＜0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝.所以∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤，等价于f(－k)＝≤.解得－≤k＜0.故当∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤时，k的取值范围是.【点评】单调性是函数的最重要的性质，函数的极值、最值等问题的解决都离不开函数的单调性，含有字母参数的函数的单调性又是综合考查不等式的解法、分类讨论的良好素材．函数单调性的讨论是高考考查导数研究函数问题的最重要的考查点．函数单调性的讨论往往归结为一个不等式、特别是一元二次不等式的讨论，对一元二次不等式，在二次项系数的符号确定后就是根据其对应的一元二次方程两个实根的大小进行讨论，即分类讨论的标准是先二次项系数、再根的大小．对于在指定区间上不等式的恒成立问题，一般是转化为函数最值问题加以解决，如果函数在这个指定的区间上没有最值，则可转化为求函数在这个区间上的值域，通过值域的端点值确定问题的答案．例3[2011·江西卷]设f(x)＝－x3＋x2＋2ax.(1)若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；(2)当0
