【课堂新坐标】(广东专用)2014高考数学一轮复习-专题突破(五)VIP免费

圆锥曲线的标准方程在新课标高考中占有十分重要的地位．一般地，求圆锥曲线的标准方程是作为解答题中考查“直线与圆锥曲线”的第一小题，最常见的方法是定义法与待定系数法．离心率是高考对圆锥曲线考查的又一重点，涉及a，b，c三者之间的关系．另外抛物线的准线，双曲线的渐近线也是命题的热点．【思路点拨】(1)由椭圆与抛物线的性质，求椭圆方程中待定参数a，b，从而确定椭圆的标准方程．(2)联立方程求出圆心和半径．(2013·广州模拟)已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为22，它的一个顶点为抛物线x2＝4y的焦点．(1)求椭圆方程；(2)若直线y＝x－1与抛物线相切于点A，求以A为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程．【规范解答】(1)椭圆中心在原点，焦点在x轴上．设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，因为抛物线x2＝4y的焦点为(0，1)，所以b＝1.由离心率e＝ca＝22，a2＝b2＋c2＝1＋c2，从而得a＝2，∴椭圆的标准方程为x22＋y2＝1.【反思启迪】1.待定系数法求曲线方程，关键是方程的联立求解，结合条件，求待定参数，体现了方程思想．2．直线与圆相切，可转化为圆心到直线的距离等于半径，体现了转化的思想．(2)由x2＝4y，y＝x－1，解得x＝2，y＝1，所以点A(2，1)．因为抛物线的准线方程为y＝－1，所以圆的半径r＝1－(－1)＝2，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.(2012·山东高考)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为()A.x28＋y22＝1B.x212＋y26＝1C.x216＋y24＝1D.x220＋y25＝1【解析】 椭圆的离心率为32，∴ca＝a2－b2a＝32，∴a＝2b.∴椭圆方程为x2＋4y2＝4b2. 双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，∴渐近线x－y＝0与椭圆x2＋4y2＝4b2在第一象限的交点为(255b，255b)，∴由圆锥曲线的对称性得4(255b×255b)＝16，∴b2＝5，∴a2＝4b2＝20.∴椭圆C的方程为x220＋y25＝1.【答案】D直线与圆锥曲线的位置关系是高考的重点，一般以椭圆或抛物线为依托，全面考查圆锥曲线与方程的求法、直线与圆锥曲线的位置关系，考查函数、方程(不等式)、平面向量等在解决问题中的综合应用．处理此类问题，要在“算”上下工夫，利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数的关系解决问题．解题时，也要特别注意特殊情况(如斜率不存在的情况)的处理．(2012·浙江高考改编)如图1，在直角坐标系xOy中，点P(1，12)到抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线的距离为54.点M(t，1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB的中点Q(m，n)在直线OM上(1)求曲线C的方程及t的值．(2)记d＝|AB|1＋4m2，求d的最大值．【思路点拨】(1)依条件，构建关于p，t的方程；(2)建立直线AB的斜率k与线段AB中点坐标间的关系，并表示弦AB的长度，运用函数的性质或基本不等式求d的最大值．【规范解答】(1)y2＝2px(p＞0)的准线x＝－p2，∴1－(－p2)＝54，p＝12，∴抛物线C的方程为y2＝x.又点M(t，1)在曲线C上，∴t＝1.(2)由(1)知，点M(1，1)，从而n＝m，即点Q(m，m)，依题意，直线AB的斜率存在，且不为0，设直线AB的斜率为k(k≠0)，且A(x1，y1)，B(x2，y2)．由y21＝x1，y22＝x2，得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2，故k·2m＝1，所以直线AB的方程为y－m＝12m(x－m)，即x－2my＋2m2－m＝0.由x－2my＋2m2－m＝0，y2＝x消去x，整理得y2－2my＋2m2－m＝0，所以Δ＝4m－4m2>0，y1＋y2＝2m，y1y2＝2m2－m.从而|AB|＝1＋1k2·|y1－y2|＝1＋4m2·4m－4m2＝2（1＋4m2）（m－m2），∴d＝|AB|1＋4m2＝2m（1－m）≤m＋(1－m)＝1，【反思启迪】1.求解的关键在于利用点差法，确定直线斜率k与点Q的坐标间的关系，进而表示直线AB的方程．2．(1)涉及弦长计算，要充分借助方程思想，利用韦达定理表示y1＋y2，y1y2“设而不求”，整体转化．(2)注意“Δ＞0”，应代入检验，判别式大于零是检验所求参数的值是否有意义的依据．当且仅当m＝1－m，即m＝12时，上式等号成立，又m＝12满足Δ＝4m－4m2＞0.∴d的最大值为1.在平面直角坐标系xOy中，点E到两点F1(－1，0)，F2(1，0)的距离之和为22，设点E的...