【课堂新坐标】2013届高考数学一轮复习-第二章第二节-函数的单调性与最大(小)值课件-理-(广东专用)VIP免费

第二节函数的单调性与最大(小)值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1＜x2时，都有__________，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1＜x2时，都有________________，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)＜f(x2)f(x1)＞f(x2)图象描述自左向右看图象是________自左向右看图象是______上升的下降的(2)单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是_________或________________，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的______________(3)若函数y＝f(x)在区间D内可导，当____________时，f(x)在区间D上为增函数；当___________时，f(x)在区间D上为减函数．增函数减函数单调区间．f′(x)＞0f′(x)＜02．函数的最值前提设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意的x∈I，都有_________________；②存在x0∈I，使得____________________①对于任意的x∈I，都有__________；②存在x0∈I，使得______________结论M是y＝f(x)的最大值M是y＝f(x)的最小值f(x)≤Mf(x0)＝M.f(x)≥Mf(x0)＝M.1．如图2－2－1所示，函数f(x)的图象，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0]∪(0，＋∞)吗？【提示】不是，其单调增区间为(－∞，0]，(0，＋∞)．2．函数的最大(小)值反映在其函数图象上有什么特征？【提示】最大(小)值是函数图象上最高(低)点的纵坐标，若x0是函数f(x)的最大(小)值点，反映在图象上点(x0，f(x0))是函数图象的最高(低)点．1．(教材改编题)如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，则()A．a＝－2B．a＝2C．a≤－2D．a≥2【解析】二次函数的对称轴方程为x＝－a－13，由题意知－a－13≥1，即a≤－2.【答案】C2．(2011·课标全国卷)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是()A．y＝x3B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1D．y＝2－|x|【解析】y＝x3是奇函数，y＝－x2＋1与y＝2－|x|在(0，＋∞)上都是减函数，A、C、D不合要求，对于B，易知y＝|x|＋1为偶函数，且在(0，＋∞)上递增．【答案】B3．(2011·重庆高考)若函数f(x)＝x＋1x－2(x＞2)在x＝a处取最小值，则a等于()A．1＋2B．1＋3C．3D．4【解析】当x＞2时，x－2＞0，∴f(x)＝x－2＋1x－2＋2≥2x－2·1x－2＋2＝4，当且仅当x－2＝1x－2，即x＝3时，取等号．因此a＝3.【答案】C4．函数f(x)＝(x－3)ex的单调增区间是________．【解析】由f(x)＝(x－3)ex，得f′(x)＝(x－2)ex，由f′(x)＞0，得x＞2，故f(x)的增区间是(2，＋∞)．【答案】(2∞，＋)函数单调性的判定与证明试讨论函数f(x)＝axx2－1，x∈(－1,1)的单调性(其中a≠0)．【尝试解答】设－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)＝ax1x21－1－ax2x22－1＝ax2－x1x1x2＋1x21－1x22－1. －1＜x1＜x2＜1，∴x2－x1＞0，x21－1＜0，x22－1＜0.－1＜x1x2＜1，∴x1x2＋1＞0.∴x2－x1x2x1＋1x21－1x22－1＞0.因此，当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，∴f(x1)＞f(x2)，此时函数在(－1,1)上为减函数；当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，∴f(x1)＜f(x2)，此时函数在(－1,1)上为增函数．1．(1)函数的单调性只能在定义域内讨论，可以是整个定义域，也可以是定义域的某个区间．(2)如果函数在某个区间上是单调的，那么在这个区间的子区间上也是单调的．2．(1)函数单调性的判定方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法．(2)证明函数的单调性的方法有：①定义法；②导数法.若将本例中“x∈(－1,1)”改为“{x|x∈R，且x≠±1}”，“a≠0”改为“a＞0”，你能求出函数f(x)的单调区间吗？【解】由f(x)＝axx2－1，得f′(x)＝ax′x2－1－axx2－1′x2－12＝ax2－1－ax·2xx2－12＝－a1＋x2x2－12. a＞0，x∈R且x≠±1.∴a1＋x2x2－12＞0，则f′(x)＜0.∴y＝f(x)在区间(－∞，－1)，(－1,1)，(1，＋∞)上是减函数，因此f(x)的减区间是(－∞，－1)，(－1,1)，(1，＋∞)．(2012·惠州调研)用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋...