第一讲——相似三角形的判定及有关性质四直角三角形的射影定理[学习目标]1.理解直角三角形的射影定理.2.理解直角三角形射影定理的逆定理.3.能应用直角三角形的射影定理及其逆定理解决相关的几何问题.栏目索引CONTENTSPAGE1预习导学挑战自我，点点落实2课堂讲义重点难点，个个击破3当堂检测当堂训练，体验成功4分层训练解疑纠偏，训练检测4四直角三角形的射影定理预习导学挑战自我，点点落实[知识链接]已知：如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D.(1)图中有几条线段？答案6条，分别记为AB，AC，BC，CD，AD，BD.5四直角三角形的射影定理(2)图中有几对相似三角形？可写出几组比例式？答案由图中△ACD∽△CBD∽△ABC，可分别写出三组比例式：CBAB＝BDBC＝CDAC；CBAB＝BDBC＝CDAC；ACAB＝CDBC＝DACA.6四直角三角形的射影定理(3)有几个带有比例中项的比例式？由上可得到哪些等积式？答案只有三个比例中项的表达式：CDBD＝ADCD，CBAB＝BDBC，ACAB＝DACA.可得到等积式：CD2＝AD·BD，BC2＝BD·BA，AC2＝AD·AB.7四直角三角形的射影定理[预习导引]1.射影的有关概念(1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的.(2)线段在直线上的正射影：一条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段.正射影8四直角三角形的射影定理2.直角三角形的射影定理(1)直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的.(2)符号表示：如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，则AC2＝；BC2＝；CD2＝.比例中项比例中项AD·ABBD·BAAD·BD9四直角三角形的射影定理课堂讲义重点难点，个个击破要点一用射影定理求线段的长例1如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，AD＝2，DB＝8，求CD，AC和BC的长.10四直角三角形的射影定理解 ∠ACB是半圆上的圆周角，∴∠ACB＝90°，即△ABC是直角三角形.由射影定理可得CD2＝AD·BD＝2×8＝16，解得CD＝4，AC2＝AB·AD＝2×10＝20，解得AC＝25.BC2＝BD·AB＝8×10＝80，解得BC＝45.11四直角三角形的射影定理规律方法应用射影定理有两个条件：一是直角三角形；二是斜边上的高.在求直角三角形的边长时，根据已知的条件，可以应用射影定理，有时也可应用勾股定理.12四直角三角形的射影定理跟踪演练1在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于点D，若AD＝27，BD＝3，则AC＝__________，BC＝__________，CD＝________.解析由射影定理，得CD2＝AD·BD，则CD＝9.根据勾股定理，得AC＝AD2＋CD2＝910，BC＝BD2＋CD2＝310.910310913四直角三角形的射影定理要点二用射影定理证明等式例2如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E.试证明：14四直角三角形的射影定理(1)AB·AC＝AD·BC；证明在Rt△ABC中，AD⊥BC，∴S△ABC＝12AB·AC＝12BC·AD，∴AB·AC＝BC·AD.15四直角三角形的射影定理(2)AD3＝BC·BE·CF.证明在Rt△ADB中，DE⊥AB，由射影定理得BD2＝BE·AB.同理CD2＝CF·AC，∴BD2·CD2＝BE·AB·CF·AC.①又在Rt△BAC中，AD⊥BC，∴AD2＝BD·DC，②16四直角三角形的射影定理∴由①②两式得AD4＝BE·CF·AB·AC，即AD3＝BE·CF·AB·AC·1AD，由(1)知AB·AC＝BC·AD代入上式得AD3＝BE·CF·BC.17四直角三角形的射影定理规律方法利用直角三角形的射影定理证明恒等式(1)结合图形，仔细分析题目的结论；(2)由于射影定理中可供选择的等式较多，需要合理选择.18四直角三角形的射影定理跟踪演练2如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：AE·AB＝AF·AC.19四直角三角形的射影定理证明因为AD⊥BC，所以△ADB与△ADC都是直角三角形.在Rt△ADB中，由于DE⊥AB于E，所以AD2＝AB·AE;在Rt△ADC中，由于DF⊥AC于F，所以AD2＝AF·AC，所以AE·AB＝AF·AC.20四直角三角形的射影定理要点三射影定理的综合应用例3如图所示，在△ABC中，D、F分别在AC、BC上，且AB⊥AC，AF⊥BC，BD＝DC＝FC＝1，求AC.21四直角三角形的射影定理解在△ABC中，设AC为x， AB⊥AC，AF⊥BC，又FC＝1，根据射影定理，得AC2＝FC·BC，即BC＝x2.再由射影定理，得AF2＝BF·FC＝(BC－FC)·FC...
