第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：__________________．(2)商数关系：_________________________________．sin2α＋cos2α＝1tanα＝sinαcosα(α≠π2＋kπ，k∈Z)2．六组诱导公式组数一二三角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－α正弦sinα____________________余弦cosα__________________正切tanα__________________口诀函数名不变符号看象限－sinα－sinα－cosαcosαtanα－tanα四五六π－απ2－απ2＋α_________________________________________________________函数名改变符号看象限sinαcosαcosα－cosαsinα－sinα－tanα1．有人说sin(kπ－α)＝sin(π－α)＝sinα(kZ)∈，你认为正确吗？【提示】不正确．当k＝2n(nZ)∈时，sin(kπ－α)＝sin(2nπ－α)＝－sinα；当k＝2n＋1(nZ)∈时，sin(kπ－α)＝sin(2nπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sinα.2．sin(－π－α)如何使用诱导公式变形？【提示】sin(－π－α)＝－sin(π＋α)＝sinα.【答案】A1．(人教A版教材习题改编)已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sinα＝()A．－1213B.1213C.512D．±1213【解析】 cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cosα＝－513，∴cosα＝513，又α是第四象限角，∴sinα＜0，则sinα＝－1－cos2α＝－1213.【答案】A2．sin585°的值为()A．－22B.22C．－32D.32【解析】sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin225°＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－22.【答案】D3．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于()A．－π6B．－π3C.π6D.π3【解析】由sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)得－sinθ＝－3cosθ，∴tanθ＝3，又|θ|＜π2，∴θ＝π3.【答案】A4．(2012·辽宁高考)已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则sin2α＝()A．－1B．－22C.22D．1【解析】因为sinα－cosα＝2，所以1－2sinαcosα＝2，即sin2α＝－1.(1)已知α∈(π，3π2)，tanα＝2，则cosα＝________．(2)(2013·揭阳模拟)已知sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5，则sin2α－sinαcosα的值是()A.25B．－25C．－2D．2【思路点拨】(1)切化弦，结合sin2α＋cos2α＝1求解；(2)先根据已知条件求得tanα，再将待求式变形为分子、分母关于“弦函数”的二次齐次求解．【尝试解答】(1)依题意tanα＝sinαcosα＝2，sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝15.又α∈(π，3π2)，因此cosα＝－55.(2)由sinα＋3cosα3cosα－sinα＝5，得tanα＋33－tanα＝5，解之得tanα＝2.所以sin2α－sinαcosα＝sin2α－sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α－tanαtan2α＋1＝25.【答案】(1)－55(2)A【答案】A(2012·大纲全国卷)已知α为第二象限角，sinα＝35，则sin2α＝()A．－2425B．－1225C.1225D.2425【解析】 α为第二象限角且sinα＝35，∴cosα＝－1－sin2α＝－45，∴sin2α＝2sinα·cosα＝2×35×(－45)＝－2425.【思路点拨】(1)直接利用诱导公式化简约分．(2)利用α在第三象限及同角三角函数关系的变形式得f(α)．f(α)＝sin（α－π2）·cos（3π2＋α）·tan（π－α）tan（－α－π）·sin（－α－π），(1)化简f(α)；(2)若cos(α－3π2)＝15，且α是第三象限角，求f(α)的值．【尝试解答】(1)f(α)＝sin（α－π2）·cos（3π2＋α）·tan（π－α）tan（－α－π）·sin（－α－π）＝（－cosα）·sinα·（－tanα）（－tanα）·sinα＝－cosα.(2) cos(α－3π2)＝cos(32π－α)＝－sinα，∴－sinα＝15，即sinα＝－15.又α为第三象限角，∴cosα＝－1－sin2α＝－265，∴f(α)＝－cosα＝265.(1)sin600°＋tan240°的值等于()A．－32B.32C.3－12D.3＋12(2)(2013·台州模拟)已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4(a，b，α，β为非零实数)，若f(2012)＝5，则f(2013)＝()A．3B．5C．1D．不能确定【解析】(1)sin600°＋tan240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°)＝sin(180°＋60°)＋tan60°＝－sin60°＋tan60°＝－32＋3＝32.(2) f(2012)＝asin(2012π＋α)＋bcos(2012π＋β)＋4＝asinα＋bcosβ＋4＝5，∴asinα＋bcosβ＝1，∴f(2013)＝asin(20...
