专题六概率与统计1．离散型随机变量的分布列(1)设离散型随机变量ξ可能取的值为x1，x2，…，xi，…，ξ取每一个值xi的概率为P(ξ=xi)=pi，则称下表：ξx1x2x3…xi…Pp1p2p3…pi…为离散型随机变量ξ的分布列．(2)离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质：①pi≥0；②p1+p2+…+pi+…=1(i=1,2,3，…)．1(0p12)常见的离散型随机变量的分布两点分布分布列为其中．：ξ01P1-pp00,1,2,3()(0,1,21)()0(0,1,22)1.kknknnkknknknAnPkCpqknqpPkknCpq二项分布在次独立重复试验中，事件发生的次数是一个随机变量，其所有可能取的值为，，，并且其中，，，．显然，，，11222211222()()()().)1(31.nnnnnpBnpExpxpxpDxEpxEpxEpBnpEnpDnpqqp称这样的随机变量服从参数为和的二项分布，记为～，．离散型随机变量的均值与方差、标准差若的分布列为：则均值，方差若～，，则，，这里．ξx1x2…xn…Pp1p2…pn…2(2)()DEabaEbDabaD标准差，，，求随机变量的分布列、期望与方差关键是概率计算，首先应明确随机变量的可能取值，然后计算出取每一个值时的概率．【例1】甲、乙两位学生参加数学竞赛培训．现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：82,81,79,78,95,88,93,84乙：92,95,80,75,83,80,90,85(1)用茎叶图表示这两组数据；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由；(3)若将频率视为概率，对甲同学今后的3次数学竞赛成绩进行预测，记这3次成绩中高于80分的次数为ξ，求ξ的数学期望Eξ.(1)以十位为茎、个位为叶绘制；(2)计算平均值和方差；(3)是三次独立重复试验问题，按照二项分布的概率公式进行计算．甲乙98758421800355390251作出茎叶图如下：2222222221(702804902891248385)851(701804903500350285)851[788579858185828588485888593859585]352.5xxs甲乙甲．理由如下：派甲参加比赛适，比较，合，22222222222211[758580858085838588585908592859585]41.853(85)185(84185)2.82sxxssPPPP乙乙乙甲甲因为，，所以甲的成绩较稳定，派甲参加比赛比较合适．本小题的结论及理由均不唯一，如派乙参加比赛比较合适．理由如下：从统计学的角度看，甲获得分以上含分的概率，乙获得分以上含分的概率因为，所以派乙参加比赛比较合适．33“80”63().8430123(3)431()()()0,1,2,3.443kkkAPABPkCk记甲同学在一次数学竞赛预赛中成绩高于分为事件，则随机变量的可能取值为、、、，且～，，所以，所以随机变量的分布列为：ξ0123P164964276427641927270123(64646464394493)4EEnp或．成绩比较类的问题就是计算样本数据平均值和方差，一般来说平均值较大的成绩较好，当平均值相等时再比较方差，方差较小的成绩较为稳定；当某些事件具有相同的发生概率时，就可以把这些事件看成独立重复试验问题，就可以直接根据独立重复试验概型的公式进行计算．【变式训练】一个摇奖装置内有红球和白球共10个，每次摇出两个球(每次摇奖后放回)，若两个球颜色不同则为中奖．(1)当红球数为1时，求三次摇奖中至少有一次中奖的概率；(2)求摇奖中首次中奖的摇奖次数ξ的分布列，当红球数为多少时，ξ的数学期望值最小．292103C4PC56112P114(.5)5一次摇奖不中奖的概率为，所以三次摇奖中至少有一次中奖的概率为1110210(10)452nnCCnnPC每次摇奖中奖的概率为，摇奖中首次中奖的摇奖次数服从超几何分布，其分布列如下：ξ123…k…PP(1-P)P(1-P)2P…(1-P)k-1P…2min145459.10(10)5(25().95EnnPnnnE数学期望）当且仅当时，【例2】设a，b分别是先后抛掷一枚...
