第2节参数方程(对应学生用书第190页)1．曲线的参数方程在平面直角坐标系xOy中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数x＝ft，y＝gt.并且对于t的每一个允许值上式所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则称上式为该曲线的参数方程，其中变数t称为参数．质疑探究1：平面直角坐标系中曲线的参数方程惟一吗？提示：平面直角坐标系中，对于同一曲线来说，由于选择的参数不同，得到的曲线的参数方程也不同．2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)直线的参数方程经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα.(t为参数)．其中|t|表示直线上的任一点M到定点M0的距离．(2)圆的参数方程若圆心在点M0(x0，y0)，半径为R，则圆的参数方程为x＝x0＋Rcosθ，y＝y0＋Rsinθ.(θ为参数)．特别地，若圆心坐标为(0,0)，则参数方程为x＝Rcosθy＝Rsinθ(θ为参数)．(3)椭圆的参数方程椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程为x＝acosφy＝bsinφ(φ为参数)．质疑探究2：对于椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的参数方程x＝acosθ，y＝bsinθ(θ为参数)，θ是椭圆上的点与原点连线的倾斜角吗？提示：不是，如图，θ是离心角．1．若直线的参数方程为x＝1＋2ty＝2－3t(t为参数)，则直线的斜率为(D)(A)23(B)－23(C)32(D)－32解析： y－2x－1＝－3t2t＝－32，∴tanα＝－32，故选D.2．参数方程为x＝3t2＋2y＝t2－1(0≤t≤5)的曲线为(A)(A)线段(B)双曲线的一支(C)圆弧(D)射线解析：化为普通方程为x＝3(y＋1)＋2，即x－3y－5＝0，由于x＝3t2＋2∈[2,77]，故曲线为线段．故选A.3．由方程x2＋y2－4tx－2ty＋5t2－4＝0(t为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是(D)(A)一个定点(B)一个椭圆(C)一条抛物线(D)一条直线解析：圆方程可化为(x－2t)2＋(y－t)2＝4，因此圆心的坐标为(2t，t)，消去t可得y＝12x，故选D.4．直线l的参数方程为x＝t＋3y＝3－t，(参数t∈R)，圆C的参数方程为x＝2cosθy＝2sinθ＋2(参数θ∈[0,2π))，则圆心到直线l的距离为________．解析：参数方程化为普通方程分别为l：x＋y＝6，C：x2＋(y－2)2＝4，所以圆心(0,2)到直线的距离d＝42＝22.答案：22(对应学生用书第191～192页)参数方程与普通方程的互化【例1】将下列参数方程化为普通方程(1)x＝3k1＋k2，y＝6k21＋k2(k为参数)；(2)x＝1－sin2θ，y＝sinθ＋cosθ(θ为参数)；(3)x＝1－t21＋t2，y＝t1＋t2.(t为参数)．思路点拨：参数方程通过消去参数可以化为普通方程．对于(1)直接消去参数k有困难，可通过两式相除，先降低k的次数，再运用代入法消去k；对于(2)可运用恒等式(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ消去θ；对于(3)可运用恒等式(1－t21＋t2)2＋(2t1＋t2)2＝1消去t.解：(1)两式相除，得k＝y2x，将其代入，得x＝3·y2x1＋y2x2，化简得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)．(2)由(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝2－(1－sin2θ)，得y2＝2－x.又x＝1－sin2θ∈[0,2]，得所求的普通方程为y2＝2－x，x∈[0,2]．(3)由(1－t21＋t2)2＋(2t1＋t2)2＝1，得x2＋4y2＝1，又x＝1－t21＋t2≠－1，得所求的普通方程是x2＋4y2＝1(x≠－1)．(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法，平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参如sin2θ＋cos2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．【例2】(2010年苏、锡、常、镇模拟)已知曲线C的方程y2＝3x2－2x3，设y＝tx，t为参数，求曲线C的参数方程．思路点拨：由于y＝tx，因此只需将y＝tx代入普通方程求解即可．解：将y＝tx代入y2＝3x2－2x3，得t2x2＝3x2－2x3，即2x3＝(3－t2)x2.当x＝0时，y＝0；当x≠0时，x＝3－t22，从而y＝3t－t32. 原点(0,0)也满足x＝3－t22，y＝3t－t32，∴曲线C的参数方程为x＝3－t22，y＝3t－t32(t为参数)．由曲线的普通方程化为参数方程，必须先指定参数或给出参数与x，y中之一的函数关系，同...
