(江苏专用)2013高考数学总复习-第六篇-数列、推理与证明《第35讲-数列的综合应用》课件-理-苏教版VIP免费

第35讲数列的综合应用基础梳理1．等比数列与等差数列比较表不同点相同点等差数列(1)强调从第二项起每一项与前项的差；(2)a1和d可以为零；(3)等差中项唯一(1)都强调从第二项起每一项与前项的关系；(2)结果都必须是同一个常数；(3)数列都可由a1，d或a1，q确定等比数列(1)强调从第二项起每一项与前项的比；(2)a1与q均不为零；(3)等比中项有两个值2.解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么．(3)求解——求出该问题的数学解．(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．双基自测1．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2的值为________．解析由题意知：a23＝a1a4.则(a2＋2)2＝(a2－2)(a2＋4)，解得：a2＝－6.答案－62．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，且4a1,2a2，a3成等差数列，则S4＝________.解析设数列{an}的公比为q，则4a2＝4a1＋a3，∴4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，∴q＝2.∴S4＝1－241－2＝15.答案153．(2011·南通调研)已知三数x＋log272，x＋log92，x＋log32成等比数列，则公比为________．解析因为(x＋log92)2＝(x＋log272)(x＋log32)，所以x＋12log322＝x＋13log32(x＋log32)，解得x＝－14log32，所以公比q＝x＋log92x＋log92＝x－4xx－2x＝3.答案34．若互不相等的实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比数列，且a＋3b＋c＝10，则a＝________.解析由c，a，b成等比数列可将公比记为q，三个实数a，b，c，待定为cq，cq2，c.由实数a、b、c成等差数列得2b＝a＋c，即2cq2＝cq＋c，又等比数列中c≠0，所以2q2－q－1＝0，解一元二次方程得q＝1(舍去，否则三个实数相等)或q＝－12，又a＋3b＋c＝a＋3aq＋aq＝－52a＝10，所以a＝－4.答案－45．已知等差数列的公差d＜0，前n项和记为Sn，满足S20＞0，S21＜0，则当n＝________时，Sn达到最大值．解析 S20＝10(a1＋a20)＝10(a10＋a11)＞0，S21＝21a11＜0，∴a10＞0，a11＜0，∴n＝10时，Sn最大．答案10考向一等差数列与等比数列的综合应用【例1】►在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.(1)求数列{an}的通项an；(2)令bn＝2an－10，证明：数列{bn}为等比数列．[审题视点]第(1)问列首项a1与公差d的方程组求an；第(2)问利用定义证明．(1)解由an＝a1＋(n－1)d，a10＝30，a20＝50，得方程组a1＋9d＝30，a1＋19d＝50，解得a1＝12，d＝2.∴an＝12＋(n－1)·2＝2n＋10.(2)证明由(1)，得bn＝2an－10＝22n＋10－10＝22n＝4n，∴bn＋1bn＝4n＋14n＝4.∴{bn}是首项是4，公比q＝4的等比数列．对等差、等比数列的综合问题的分析，应重点分析等差、等比数列的通项及前n项和；分析等差、等比数列项之间的关系．往往用到转化与化归的思想方法．【训练1】数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)．(1)求{an}的通项公式；(2)等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.解(1)由an＋1＝2Sn＋1，可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，两式相减得an＋1－an＝2an，则an＋1＝3an(n≥2)．又a2＝2S1＋1＝3，∴a2＝3a1.故{an}是首项为1，公比为3的等比数列，∴an＝3n－1.(2)设{bn}的公差为d，由T3＝15，b1＋b2＋b3＝15，可得b2＝5，故可设b1＝5－d，b3＝5＋d，又a1＝1，a2＝3，a3＝9，由题意可得(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3)2，解得d1＝2，d2＝－10. 等差数列{bn}的各项为正，∴d＞0，∴d＝2，b1＝3，∴Tn＝3n＋nn－12×2＝n2＋2n.考向二数列与函数的综合应用【例2】►等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对任意的n∈N*，点(n，Sn)均在函数y＝bx＋r(b＞0且b≠1，b，r均为常数)的图象上．(1)求r的值；(2)当b＝2时，记bn＝n＋14an(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.[审题视点]第(1)问将点(n，Sn)代入函数解析式，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)，得到an，再利用a1＝S1可求r.第(2)问错位相减求和．解(1)由题意，Sn＝bn＋r，当n≥2时，Sn－1＝bn－1＋r，所以an＝Sn－Sn－1＝bn－1·(b－1)，由于b＞0且b≠1，所以n≥2时，{a...