第一节数列的概念与简单表示法1．数列的定义按照_________排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的_____．一定顺序项2．数列的分类3.数列的通项公式如果数列{an}的第n项与_________之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．4．数列的递推公式若一个数列首项确定，其余各项用an与an－1的关系式表示(如an＝2an－1＋1，n>1)，则这个关系式称为数列的递推公式．5．an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝序号n1．数列的通项公式唯一吗？是否每个数列都有通项公式？【提示】不唯一，如数列－1，1，－1，1，…的通项公式可以为an＝(－1)n或an＝－1（n为奇数）1（n为偶数），有的数列没有通项公式．2．数列的函数特征是什么？【提示】数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n)＝an(n∈N*)．1．(人教A版教材习题改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1，则a5的值为()A．30B．31C．32D．33【解析】a5＝2a4＋1＝2(2a3＋1)＋1＝22a3＋2＋1＝23a2＋22＋2＋1＝24a1＋23＋22＋2＋1＝31.【答案】B2．把1，3，6，10，15，21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图5－1－1)．图5－1－1则第7个三角形数是()A．27B．28C．29D．30【解析】由图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.【答案】B3．(2012·福建高考)数列{an}的通项公式an＝ncos，其前n项和为Sn，则S2012等于()A．1006B．2012C．503D．0【解析】a1＝cosπ2＝0，a2＝2cosπ＝－2，a3＝0，a4＝4，….∴数列{an}的所有奇数项为0，前2012项的所有偶数项(共1006项)依次为－2，4，－6，8，…故S2012＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2010＋2012)＝1006.【答案】A4．数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________．【解析】当n＝1时，a1＝S1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋1)－[(n－1)2＋1]＝n2－(n－1)2＝2n－1.∴an＝2（n＝1），2n－1（n≥2）.【答案】2（n＝1）2n－1（n≥2）根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式．(1)－1，7，－13，19，…；(2)0.8，0.88，0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，….【思路点拨】归纳通项公式应从以下四个方面着手：(1)观察项与项之间的关系；(2)符号与绝对值分别考虑；(3)规律不明显，适当变形．【尝试解答】(1)符号可通过(－1)n表示，后面的数的绝对值总比前面的数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．(2)数列变为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴an＝89(1－110n)．(3)各项的分母分别为21，22，23，24，…，易看出第2，3，4项的分子分别比分母少3.因此把第1项变为－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴an＝(－1)n·2n－32n.根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式．(1)3，5，7，9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…；(3)－1，32，－13，34，－15，36，….【解】(1)各项减去1后为正偶数，∴an＝2n＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24，….∴an＝2n－12n.(3)各项负正相间，故通项公式中含有因式(－1)n，各项绝对值的分母组成数列{n}，分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3.即奇数项为2－1，偶数项为2＋1.∴an＝(－1)n2＋（－1）nn.根据下列条件，确定数列{an}的通项公式：(1)a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋1n)；(2)a1＝12，an＋1＝nn＋2an＋(1－nn＋2)；(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2；(4)a1＝1，an＋1＝2an2＋an.【思路点拨】(1)求an－an－1用叠加法求和，验证n＝1；(2)令bn＝an－1，用叠乘法求和；(3)可构造等比数列求解；(4)用倒数法，转化为等差数列求解．【尝试解答】(1) an＋1＝an＋ln(1＋1n)，∴an－an－1＝ln(1＋1n－1)＝lnnn－1(n≥2)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝lnnn－1＋lnn－1n－2＋…＋ln32＋ln2＋2＝2＋ln(nn－1·n－1n－2·…·32·2)＝2＋lnn(n≥2)．又a1＝2适合上式，故an＝2＋lnn(n∈N*)．(2) an＋1＝nn＋2an＋(1－nn＋2)，∴an＋1－...
