第40讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题基础梳理1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：①直线l上的点(x，y)的坐标满足；②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＞0；ax＋by＋c＝0符相同号2．线性规划相关概念名称意义目标函数欲求或的函数约束条件目标函数中的变量所要满足的不等式组线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组线性目标函数目标函数是关于变量的一次函数可行解满足的解可行域所有组成的集合最优解使目标函数取得或的点的坐标线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的或问题最大值最小值线性约束条件可行解最大值最小值最大值最小值一条规律确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．两个防范(1)画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．(2)在通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距zb取最大值时，z也取最大值；截距zb取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距zb取最大值时，z取最小值；截距zb取最小值时，z取最大值．双基自测1．(教材改编)不等式组，x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3，所表示平面区域的面积为________．解析由图可知S＝12(8＋3)·112＝1214答案12142．如图所示的平面区域(阴影部分)，用不等式表示为________．解析将原点(0,0)代入2x－y－3得2×0－0－3＝－3＜0，所以不等式为2x－y－3＞0.答案2x－y－3＞03．若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x＋y＋m＝0的两侧，则m的取值范围是________．解析由题意得(2×1＋3＋m)[2×(－4)－2＋m]＜0，即(m＋5)(m－10)＜0，∴－5＜m＜10.答案(－5,10)4．(2011·天津卷改编)设变量x，y满足约束条件x≥1，x＋y－4≤0，x－3y＋4≤0.则目标函数z＝3x－y的最大值为________．解析由约束条件画出可行域如图所示(阴影△ABC)．当直线3x－y－z＝0过点A(2,2)时，目标函数z取得最大值zmax＝3×2－2＝4.答案45．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元，设木工x人，瓦工y人，请工人的约束条件是________．答案50x＋40y≤2000x∈N＋y∈N＋考向一二元一次不等式(组)表示平面区域【例1】►画出不等式组x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3，表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x，y的取值范围；(2)平面区域内有多少个整点？[审题视点](1)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分，但要注意是否包含边界．(2)整点是指横、纵坐标均为整数的点．解(1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合．x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合．所以，不等式组x－y＋5≥0，x＋y≥0，x≤3，表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x∈－52，3，y∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知－x≤y≤x＋5，－2≤x≤3，且x∈Z.当x＝3时，－3≤y≤8，有12个整点；当x＝2时，－2≤y≤7，有10个整点；当x＝1时，－1≤y≤6，有8个整点；当x＝0时，0≤y≤5，有6个整点；当x＝－1时，1≤y≤4，有4个整点；当x＝－2时，2≤y≤3，有2个整点；∴平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42个．(1)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分．(2)在封闭区域内找整点数目时，若数目较小时，可画网格逐一数出；若数目较大，则可分x＝m逐条分段统计．【训练1】(2011·湖北卷改编)直线2x＋y－10＝0与不等式组x≥0y≥0，x－y≥－2，4x＋3y≤20表示的平面区域的公共点有________个．解析由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)．直线2x＋y－10＝0恰过点A(5,0)，且斜率k＝－2＜kAB＝－43，即直线2x＋y－10＝0与平面区域仅有一个公共点A(5,0)．答案1考向二求平面区域的面积【例2】►求不等式组x－y＋6≥0，x＋y...
