(湖南专用)2013年高考数学总复习-(教材回扣夯实双基+考点探究+把脉高考)第五章第3课时等比数列及其前nVIP专享VIP免费

第3课时等比数列及其前n项和教材回扣夯实双基基础梳理1．等比数列的基本问题(1)定义一般地,如果一个数列从________起,每一项与它的_________的比等于__________,常数那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的______,公比通常用字母q(q≠0)表示.第2项前一项同一个公比(2)通项公式设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则它的通项an＝_________.(3)等比中项如果三个数a、G、b成__________,则G叫做a和b的等比中项,那么即G2＝_____.Ga＝bG,a1qn－1等比数列ab思考探究b2＝ac是a,b,c成等比数列的什么条件?提示:b2＝ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件．当b＝0，a，c至少有一个为零时，b2＝ac成立，但a，b，c不成等比数列；反之，若a，b，c成等比数列，则必有b2＝ac.(4)前n项和公式Sn＝_____q＝1，a11－qn1－q＝a1－anq1－qq≠1.na12．等比数列的性质已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝______＝_____；(2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)．ap·aqa2r课前热身1．在等比数列{an}中，a2012＝8a2009，则公比q的值为()A．2B．3C．4D．8答案：A2．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则S4a2＝()A．2B．4C.152D.172解析：选C.S4a2＝1a1q·a11－q41－q＝1－242×－1＝152.3．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243,则数列{an}的前4项和为________．解析： a5a2＝27＝q3，∴q＝3，a1＝a2q＝3，∴S4＝3×1－341－3＝120.答案：1204．已知各项不为0的等差数列{an}满足2a3－a＋2a11＝0，数列{bn}是等比数列,且b7＝a7，则b6b8等于________．解析：由题意可知，b6b8＝b27＝a27＝2(a3＋a11)＝4a7. a7≠0，∴a7＝4.∴b6b8＝16.答案：16考点探究讲练互动考点突破考点突破等比数列的判定已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意的n∈N*有an＋Sn＝n.例1(1)设bn＝an－1，求证：数列{bn}是等比数列；(2)设c1＝a1且cn＝an－an－1(n≥2)，求{cn}的通项公式．【解】(1)证明：由a1＋S1＝1及a1＝S1得a1＝12.又由an＋Sn＝n及an＋1＋Sn＋1＝n＋1得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1.∴2(an＋1－1)＝an－1，即2bn＋1＝bn.∴数列{bn}是以b1＝a1－1＝－12为首项，12为公比的等比数列．(2)法一：由(1)知2an＋1＝an＋1.∴2an＝an－1＋1(n≥2)，∴2an＋1－2an＝an－an－1，∴2cn＋1＝cn(n≥2)．又c1＝a1＝12，∴数列{cn}是首项为12，公比为12的等比数列．∴cn＝12·(12)n－1＝(12)n.法二：由(1)知bn＝－12·(12)n－1＝－(12)n，∴an＝－(12)n＋1.∴cn＝－(12)n＋1－[－(12)n－1＋1]＝(12)n－1－(12)n＝(12)n－1(1－12)＝(12)n(n≥2)．又c1＝a1＝12也适合上式，∴cn＝(12)n.【题后感悟】证明一个数列是等比数列的主要方法有两种：一是利用等比数列的定义，即证明an＋1an＝q(q≠0，n∈N*)；二是利用等比中项法，即证明a2n＋1＝anan＋2≠0(n∈N*)．在解题中，要注意根据欲证明的问题，对给出的条件式进行合理地变形整理，构造出符合等比数列定义式的形式，从而证明结论．备选例题(教师用书独具)在数列{an}中，a1＝0，且对任意k∈N*，a2k－1，a2k，a2k＋1成等差数列，其公差为dk.若dk＝2k，求证a2k，a2k＋1，a2k＋2成等比数列(k∈N*)．例【证明】由题设知，a2k＋1－a2k－1＝4k，k∈N*.所以a2k＋1－a1＝(a2k＋1－a2k－1)＋(a2k－1－a2k－3)＋…＋(a3－a1)＝4k＋4(k－1)＋…＋4×1＝2k(k＋1)．由a1＝0，得a2k＋1＝2k(k＋1)，从而a2k＝a2k＋1－2k＝2k2，a2k＋2＝2(k＋1)2.于是，a2k＋1a2k＝k＋1k，a2k＋2a2k＋1＝k＋1k，所以a2k＋2a2k＋1＝a2k＋1a2k.所以dk＝2k时，对任意k∈N*，a2k，a2k＋1，a2k＋2成等比数列．变式训练1．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.设bn＝an＋1－2an，求证数列{bn}是等比数列．证明：由a1＝1，Sn＋1＝4an＋2，得a1＋a2＝4a1＋2，∴a2＝3a1＋2＝5，b1＝a2－2a1＝3. Sn＋1＝4an＋2，①∴当n≥2时，有Sn＝4an－1＋2.②①－②得an＋1＝4an－4an－1，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)．又 bn＝an＋1－2an，∴b1＝a2...