第一节直线的倾斜角与斜率、直线方程1.直线的倾斜角(1)定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l___________之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴______________时,规定它的倾斜角为0.(2)范围:直线l倾斜角的范围是____________.向上方向平行或重合[0,π)2.斜率公式(1)直线l的倾斜角为α≠90°,则斜率k=________.tanα(2)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上,且x1≠x2,则l的斜率k=_____________.y2-y1x2-x13.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式____________不含直线x=x0斜截式____________不含垂直于x轴的直线y-y0=k(x-x0)y=kx+b两点式__________不含直线x=x1(x1≠x2)和直线y=y1(y1≠y2)截距式__________不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式____________________________平面内所有直线都适用y-y1y2-y1=x-x1x2-x1xa+yb=1Ax+By+C=0,A2+B2≠01.如何正确认识倾斜角与斜率的关系?(2)k是α的函数,其变化规律用表格表示如下:【提示】(1)直线一定有倾斜角,但不一定有斜率,当倾斜角α≠π2时,斜率k=tanα.2.过点(x0,y0)的直线是否一定可设为y-y0=k(x-x0)?【提示】不一定,若斜率不存在,直线方程为x=x0;若斜率存在,直线方程才可设为y-y0=k(x-x0).【答案】B1.(人教A版教材习题改编)直线3x-y+a=0的倾斜角为()A.30°B.60°C.150°D.120°【解析】k=tanα=3,且0°≤α<180°,∴α=60°.2.若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆心,则a的值为()A.-1B.1C.3D.-3【解析】圆的方程(x+1)2+(y-2)2=5,圆心为(-1,2). 直线过圆心,∴3×(-1)+2+a=0,∴a=1.【答案】B3.已知A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则x=________.【解析】由已知得x-5-1-3=7-54-3,∴x=-3.【答案】-34.一条直线经过点A(2,-3),并且它的倾斜角等于直线y=13x的倾斜角的2倍,则这条直线的一般式方程是________,斜截式方程是________.【解析】 直线y=13x的倾斜角α=30°,所以所求直线的倾斜角为60°,又该直线过点A(2,-3),故所求直线的方程为y-(-3)=tan60°(x-2),即3x-y-23-3=0,化成斜截式为y=3x-23-3.【答案】3x-y-23-3=0;y=3x-23-3(1)若直线l与直线y=1,x=7分别交于点P,Q,且线段PQ的中点坐标为(1,-1),则直线l的斜率为()A.13B.-13C.-32D.23(2)直线xcosα+3y+2=0的倾斜角的范围是()A.[π6,π2)∪(π2,5π6]B.[0,π6]∪[5π6,π)C.[0,5π6]D.[π6,5π6]【思路点拨】(1)分别设出P、Q点的坐标,利用中点坐标公式求解.(2)根据cosα的范围确定直线斜率的范围,结合正切函数图象求倾斜角的范围.【尝试解答】(1)设P(x,1),Q(7,y),则x+72=1,y+12=-1,∴x=-5,y=-3,即P(-5,1),Q(7,-3),故直线l的斜率k=-3-17+5=-13.【答案】(1)B(2)B(2)设直线的倾斜角为θ,则tanθ=-33cosα,又cosα∈[-1,1],∴-33≤tanθ≤33,又0≤θ<π,且y=tanθ在[0,π2)及(π2,π)上均为增函数,故θ∈[0,π6]∪[56π,π).(2013·惠州质检)直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是()A.-1<k<15B.k>1或k<12C.k>15或k<1D.k>12或k<-1【答案】D【解析】设直线的斜率为k,则直线方程为y-2=k(x-1),直线在x轴上的截距为1-2k.令-3<1-2k<3,解不等式得k<-1或k>12.已知点A(3,4),求满足下列条件的直线方程.(1)经过点A且在两坐标轴上截距相等;(2)经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.【思路点拨】(1)分截距等于0和不等于0两种情况求解.(2)直线的斜率为±1,可由点斜式写出直线方程.【尝试解答】(1)设直线在x,y轴上的截距均为a.①若a=0,即直线过点(0,0)及(3,4),∴直线的方程为y=43x,即4x-3y=0.②若a≠0,则设所求直线的方程为xa+ya=1,又点(3,4)在直线上,∴3a+4a=1,∴a=7,∴直线的方程为x+y-7=0.综合①②可知所求直线方程为4x-3y=0或x+y-7=0.(2)由题意可知,所求直线的斜率为±1,又过点(3,4).由点斜式得y-4=±(...