第一节直线的倾斜角与斜率、直线方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l___________之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴______________时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的范围是____________．向上方向平行或重合[0，π)2．斜率公式(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝________．tanα(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝_____________．y2－y1x2－x13．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式____________不含直线x＝x0斜截式____________不含垂直于x轴的直线y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋b两点式__________不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式__________不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式____________________________平面内所有直线都适用y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1xa＋yb＝1Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠01．如何正确认识倾斜角与斜率的关系？(2)k是α的函数，其变化规律用表格表示如下：【提示】(1)直线一定有倾斜角，但不一定有斜率，当倾斜角α≠π2时，斜率k＝tanα.2.过点(x0，y0)的直线是否一定可设为y－y0＝k(x－x0)?【提示】不一定，若斜率不存在，直线方程为x＝x0；若斜率存在，直线方程才可设为y－y0＝k(x－x0)．【答案】B1．(人教A版教材习题改编)直线3x－y＋a＝0的倾斜角为()A．30°B．60°C．150°D．120°【解析】k＝tanα＝3，且0°≤α＜180°，∴α＝60°.2．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为()A．－1B．1C．3D．－3【解析】圆的方程(x＋1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(－1，2)． 直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a＝0，∴a＝1.【答案】B3．已知A(3，5)，B(4，7)，C(－1，x)三点共线，则x＝________．【解析】由已知得x－5－1－3＝7－54－3，∴x＝－3.【答案】－34．一条直线经过点A(2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y＝13x的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________，斜截式方程是________．【解析】 直线y＝13x的倾斜角α＝30°，所以所求直线的倾斜角为60°，又该直线过点A(2，－3)，故所求直线的方程为y－(－3)＝tan60°(x－2)，即3x－y－23－3＝0，化成斜截式为y＝3x－23－3.【答案】3x－y－23－3＝0；y＝3x－23－3(1)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为()A.13B．－13C．－32D.23(2)直线xcosα＋3y＋2＝0的倾斜角的范围是()A．[π6，π2)∪(π2，5π6]B．[0，π6]∪[5π6，π)C．[0，5π6]D．[π6，5π6]【思路点拨】(1)分别设出P、Q点的坐标，利用中点坐标公式求解．(2)根据cosα的范围确定直线斜率的范围，结合正切函数图象求倾斜角的范围．【尝试解答】(1)设P(x，1)，Q(7，y)，则x＋72＝1，y＋12＝－1，∴x＝－5，y＝－3，即P(－5，1)，Q(7，－3)，故直线l的斜率k＝－3－17＋5＝－13.【答案】(1)B(2)B(2)设直线的倾斜角为θ，则tanθ＝－33cosα，又cosα∈[－1，1]，∴－33≤tanθ≤33，又0≤θ＜π，且y＝tanθ在[0，π2)及(π2，π)上均为增函数，故θ∈[0，π6]∪[56π，π)．(2013·惠州质检)直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是()A．－1＜k＜15B．k＞1或k＜12C．k＞15或k＜1D．k＞12或k＜－1【答案】D【解析】设直线的斜率为k，则直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－2k.令－3＜1－2k＜3，解不等式得k＜－1或k＞12.已知点A(3，4)，求满足下列条件的直线方程．(1)经过点A且在两坐标轴上截距相等；(2)经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．【思路点拨】(1)分截距等于0和不等于0两种情况求解．(2)直线的斜率为±1，可由点斜式写出直线方程．【尝试解答】(1)设直线在x，y轴上的截距均为a.①若a＝0，即直线过点(0，0)及(3，4)，∴直线的方程为y＝43x，即4x－3y＝0.②若a≠0，则设所求直线的方程为xa＋ya＝1，又点(3，4)在直线上，∴3a＋4a＝1，∴a＝7，∴直线的方程为x＋y－7＝0.综合①②可知所求直线方程为4x－3y＝0或x＋y－7＝0.(2)由题意可知，所求直线的斜率为±1，又过点(3，4)．由点斜式得y－4＝±(...
