第一节直线的倾斜角与斜率、直线方程1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴与直线l之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的范围是．2．斜率公式(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.y2－y1x2－x1向上方向[0，π)tanα正向平行或重合3．直线方程的五种形式1．直线的倾斜角α同斜率k之间是一一对应关系，这种说法正确吗？【提示】这种说法不正确．当α＝90°时，其正切函数tanα无意义，即此时斜率k不存在，所以倾斜角α同斜率k之间并非是一一对应关系．2.过点(x0，y0)的直线是否一定可设为y－y0＝k(x－x0)?【提示】不一定，若斜率不存在，直线方程为x＝x0；若斜率存在，直线方程才可设为y－y0＝k(x－x0)．【答案】D1．(教材改编题)已知点A(7，－4)，B(－5,6)，则线段AB的垂直平分线方程为()A．5x＋6y－11＝0B．5x－6y＋1＝0C．6x＋5y－1＝0D．6x－5y－1＝0【解析】线段AB的中点坐标为(1,1)，直线AB的斜率k＝6＋4－5－7＝－56.因此线段AB的垂直平分线的斜率为65，故线段AB的垂直平分线方程为y－1＝65(x－1)，即6x－5y－1＝0.2．(2011·安徽高考)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为()A．－1B．1C．3D．－3【解析】化圆为标准形式(x＋1)2＋(y－2)2＝5，圆心为(－1,2)． 直线过圆心，∴3×(－1)＋2＋a＝0，∴a＝1.【答案】B3．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三点共线，则x＝________.【解析】由已知得x－5－1－3＝7－54－3，∴x＝－3.【答案】－34．一条直线经过点A(2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y＝13x的倾斜角的2倍，则这条直线的一般式方程是________，斜截式方程是________．【解析】 直线y＝13x的倾斜角α＝30°，所以所求直线的倾斜角为60°，又该直线过点A(2，－3)，故所求直线的方程为y－(－3)＝tan60°(x－2)，即3x－y－23－3＝0，化成斜截式为y＝3x－23－3.【答案】3x－y－23－3＝0y＝3x－23－3(1)(2012·福州模拟)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为()A.13B．－13C．－32D.23(2)直线xcosα＋3y＋2＝0的倾斜角的范围是()A．[π6，π2)∪(π2，5π6]B．[0，π6]∪[5π6，π)C．[0，5π6]D．[π6，5π5]【思路点拨】(1)分别设出P、Q点的坐标，利用中点坐标公式求解．(2)根据cosα的范围确定直线斜率的范围，结合正切函数图象求倾斜角的范围．【尝试解答】(1)设P(x,1)，Q(7，y)，则x＋72＝1，y＋12＝－1，∴x＝－5，y＝－3，即P(－5,1)，Q(7，－3)，故直线l的斜率k＝－3－17＋5＝－13.(2)设直线的倾斜角为θ，则tanθ＝－33cosα，又cosα∈[－1,1]，∴－33≤tanθ≤33，又0≤θ＜π，且y＝tanθ在[0，π2)及(π2，π)上均为增函数，故θ∈[0，π6]∪[56π，π)【答案】(1)B(2)B若直线l：y＝kx－3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是()A．[π6，π3)B．(π6，π2)C．(π3，π2)D．[π6，π2]【解析】 直线l恒过定点(0，－3)．作出两直线的图象，如图所示，从图中看出，直线l的倾斜角的取值范围应为(π6，π2)．【答案】B已知点A(3,4)，求满足下列条件的直线方程．(1)经过点A且在两坐标轴上截距相等；(2)经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．【思路点拨】(1)分截距等于0和不等于0两种情况求解．(2)直线的斜率为±1，可由点斜式写出直线方程．【尝试解答】(1)设直线在x，y轴上的截距均为a.①若a＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)∴直线的方程为y＝43x，即4x－3y＝0.②若a≠0，则设所求直线的方程为xa＋ya＝1，又点(3,4)在直线上，∴3a＋4a＝1，∴a＝7，∴直线的方程为x＋y－7＝0.综合①②可知所求直线方程为4x－3y＝0或x＋y－7＝0.(2)由题意可知，所求直线的斜率为±1，又过点(3,4)．由点斜式得y－4＝±(x－3)，所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.本例中题设条件不变，求直线与两坐标轴正半轴所围成的三角形面积为25时的直线方程．【解】设所求直线的方程为xa＋yb＝1，则a＞0，b＞0.由题意知3a＋4...
