第35讲基本不等式双向固基础点面讲考向多元提能力教师备用题返回目录返回目录返回目录返回目录会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．考试说明第35讲基本不等式————知识梳理知识梳理————一、基本不等式≤1．基本不等式成立的条件：____________.2．等号成立的条件：当且仅当________时取等号．二、几个重要的不等式1．a2＋b2≥____________(a，b∈R)．2.≥________(a，b同号)．3．ab≤(a，b∈R)．三、利用基本不等式求最值问题已知x，y∈R＋，x＋y＝P，xy＝S.有下列命题：返回目录返回目录双向固基础a>0且b>0a＝b2ab2第35讲基本不等式如果S是定值，那么当且仅当______时，x＋y有最小值______；如果P是定值，那么当且仅当______时，xy有最大值______．返回目录返回目录双向固基础x＝yx＝y————疑难辨析疑难辨析————返回目录返回目录双向固基础第35讲基本不等式1．基本不等式的变形(1)若a，b是两个实数，则a2＋b2≥2ab.()(2)若a，b是两个实数，则a＋b2≥ab.()(3)若a，b是两个实数，则ab＋ba≥2.()(4)如果a>0，b>0，则一定有2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22.()返回目录返回目录双向固基础第35讲基本不等式[答案](1)√(2)×(3)×(4)√[解析](1)因为(a－b)2≥0，展开即得a2＋b2≥2ab.(2)a，b必须是正数，例如a＝－2，b＝－1，则不等式不成立．(3)若a，b同号，则不等式成立；若a，b异号，则不等式不成立，例如a＝－2，b＝1时，不等式不成立．(4)根据基本不等式和不等式的性质，有2aba＋b≤2ab2ab＝ab；由于a＋b2＝a＋b24＝a2＋b2＋2ab4≤a2＋b2＋a2＋b24＝a2＋b22，所以2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22.返回目录返回目录双向固基础第35讲基本不等式2．最值的确定(1)当x<0时，函数y＝x＋1x的最大值为－2.()(2)若x>0，y>0，且x＋y＝2，则2xy的最大值为1.()(3)函数y＝sinx＋4sinx，x∈0，π2的最小值为4.()(4)函数y＝x2＋4＋1x2＋4的最小值是2.()返回目录返回目录双向固基础第35讲基本不等式[答案](1)√(2)×(3)×(4)×[解析](1)当x<0时，－x>0，y＝x＋1x＝－－x＋1x≤－2x·1x＝－2，当且仅当x＝1x，即x＝－1时取等号，即y的最大值为－2.(2)2xy≤2x＋y22＝2，当x＝y＝1时取等号，故2xy的最大值为2.(3)当sinx＝4sinx时，sinx＝±2，显然等号取不到，返回目录返回目录双向固基础第35讲基本不等式事实上，设t＝sinx，则t∈(0,1]，y＝t＋4t在(0,2]上为减函数，故当t＝1时，y取最小值5.(4)x2＋4＋1x2＋4≥2x2＋4·1x2＋4＝2，当x2＋4＝1x2＋4时，即x2＋4＝1，x∈∅，等号取不到．返回目录返回目录点面讲考向第35讲基本不等式考点考频示例(难度)1.利用基本不等式证明简单不等式02.利用基本不等式求最值填空(1)2011年浙江T16(B)3.基本不等式与其他知识的综合应用0说明：A表示简单题，B表示中等题，C表示难题，考频分析2009～2012年浙江卷情况．►探究点一利用基本不等式证明简单不等式返回目录返回目录点面讲考点第35讲基本不等式例1[2012·南京二模]已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：12a＋1＋42b＋1≥94.返回目录返回目录点面讲考点第35讲基本不等式[思考流程]条件：两个正数的和为定值；目标：证明不等式；方法：构造满足基本不等式的条件．返回目录返回目录点面讲考点第35讲基本不等式证明：证法一：由a＋b＝1，得(2a＋1)＋(2b＋1)＝4，∴12a＋1＋42b＋1[(2a＋1)＋(2b＋1)]＝1＋4＋2b＋12a＋1＋42a＋12b＋1≥5＋22b＋12a＋1·42a＋12b＋1＝9，而(2a＋1)＋(2b＋1)＝4，所以12a＋1＋42b＋1≥94.返回目录返回目录点面讲考点第35讲基本不等式证法二：设2a＋1＝x,2b＋1＝y，则x>1，y>1，且x＋y＝(2a＋1)＋(2b＋1)＝4，故只需证明1x＋4y≥94即可， 1x＋4y(x＋y)＝5＋yx＋4xy≥5＋2yx·4xy＝9，又x＋y＝4，∴1x＋4y≥94，故12a＋1＋42b＋1≥94.[点评]利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是由问题的已知条件出发，观察题中的条件是否满足基本不等式的使用环境，若不满足，可通过添项、拆项、配系数、“1”的代换等方法，构造满足基本不等式的条件，再借助不等式的性质和基本不等式，经过逐步...
