第55讲直线与圆的位置关系相离相切相交d＜rd＝rd＞r1．解决直线与圆的位置关系的有关问题，要充分利用平面几何中圆的性质使问题简化．一般要求圆心到直线的距离与半径．2．当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；当与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形．3．对于圆的切线问题，要注意切线斜率不存在的情况．3．(2011·安徽)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a＝________.解析由已知得圆的圆心为(－1,2)，则3×(－1)＋2＋a＝0，∴a＝1.答案14．直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A、B两点，则AB＝________.解析如图，取AB中点C，连接OC、OA.则OC⊥AB，|OA|＝22，OC＝|0－2×0＋5|12＋－22＝5，∴AC＝8－5＝3，∴AB＝2AC＝23.答案23考向一直线与圆的位置关系【例1】►m为何值时，直线2x－y＋m＝0与圆x2＋y2＝5.(1)无公共点；(2)截得的弦长为2；(3)交点处两条半径互相垂直．[审题视点](1)无公共点即相离，用点到直线的距离d＞r判断；(2)充分利用直角三角形；(3)两半径互相垂直，形成等腰直角三角形．(2)如图，由平面几何垂径定理知r2－d2＝12.即5－m25＝1.得m＝±25，∴当m＝±25时，直线被圆截得的弦长为2.(3)如图，由于交点处两条半径互相垂直，∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形，∴d＝22r，即|m|5＝22·5，解得m＝±522.故当m＝±522时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直．(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；(2)勾股定理是解决有关弦问题的常用方法；(3)两半径互相垂直也可利用两直线垂直时斜率k1·k2＝－1.【训练1】已知圆x2＋y2－6mx－2(m－1)y＋10m2－2m－24＝0(m∈R)．(1)求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；(2)与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；(3)求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等．(1)证明配方得：(x－3m)2＋[y－(m－1)2]＝25，设圆心为(x，y)，则x＝3my＝m－1，消去m得x－3y－3＝0，则圆心恒在直线l：x－3y－3＝0上．(2)解设与l平行的直线是l1：x－3y＋b＝0，则圆心到直线l1的距离为d＝|3m－3m－1＋b|10＝|3＋b|10. 圆的半径为r＝5，∴当d＜r，即－510－3＜b＜510－3时，直线与圆相交；当d＝r，即b＝±510－3时，直线与圆相切；当d＞r，即b＜－510－3或b＞510－3时，直线与圆相离．(3)证明对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1：x－3y＋b＝0，由于圆心到直线l1的距离d＝|3＋b|10，弦长＝2r2－d2且r和d均为常量．∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等．考向二圆的切线问题【例2】►(1)求圆x2＋y2＝10的切线方程，使得它经过点M(2，6)．(2)求圆x2＋y2＝4的切线方程，使得它经过点Q(3,0)．[审题视点](1)判定点M在圆上，由MO的斜率确定切线斜率，由点斜式写切线方程．(2)判定点Q在圆外，设点斜式，由相切关系确定斜率k，回代得切线方程．(2)容易判断点Q(3,0)在圆外．设切线的方程为y＝k(x－3)，即kx－y－3k＝0，又圆的圆心为(0,0)，半径为2，所以|－3k|1＋k2＝2.解得：k＝±255.∴所求切线方程为：y＝±255(x－3)．如果所求切线过某已知点，务必弄清该点在圆上还是在圆外．(1)点M在圆上，那么圆心和M点的连线和切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得切线方程．(2)如果已知点在圆外，过这点的切线将有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的直线只有一条，这是因为有一条过这点的切线斜率不存在．【训练2】(2011·广东华南师大附属中学测试)已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)．(1)求过点A的圆的切线方程；(2)O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S.解(1)⊙C：(x－2)2＋(y－3)2＝1.①当切线的斜率不存在时，有直线x＝3，C(2,3)到直线的距离为1，满足条件．②当k存在时，设直线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0，故|－k＋2|k2＋1＝1，得k＝34.∴方程为y－5＝34(x－3)，即3x－4y＋11＝0....
