第八节正弦定理、余弦定理的应用举例1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线_____的角叫仰角，在水平线______的角叫俯角(如图3－8－1)①．上方下方2．方位角和方向角(1)方位角：从指北方向________转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图3－8－1)②．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°等．3．坡度与坡比坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比．顺时针1．仰角、俯角、方位角有什么区别？【提示】三者的参照不同．仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．2．如何用方位角、方向角确定一点的位置？【提示】利用方位角或方向角和目标与观测点的距离可唯一确定一点的位置．1．(人教A版教材习题改编)如图3－8－2所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A．akmB.3akmC.2akmD．2akm【解析】在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝120°，∴AB2＝a2＋a2－2a2cos120°＝3a2，AB＝3a.【答案】B2．在相距2千米的A、B两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A、C两点之间的距离为________千米．【解析】在△ABC中，∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，∴∠ACB＝180°－75°－60°＝45°，又AB＝2，由正弦定理，得ACsin60°＝ABsin45°，故AC＝6.【答案】63．一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为________海里/时．【解析】如图．由题意知∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠PNM＝45°.在△PMN中，由正弦定理，得MNsin120°＝PMsin45°，∴MN＝346.又由M到N所用时间为14－10＝4小时，∴船的航行速度v＝3464＝1726(海里/时)．【答案】17264．(2013·梅州模拟)如图3－8－3，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m．则这条河的宽度为________m.【答案】60【解析】因为∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，则∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，所以AC＝AB＝120m，所以S△ABC＝12·AC·AB·sinA＝12×120×120×12＝3600，设这条河的宽度为h，则S△ABC＝12×AB·h，∴h＝AC·sinA＝120×12＝60(m)．(2013·佛山调研)如图3－8－4所示，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？【思路点拨】在△BAD中，由正弦定理，求DB→△BCD中，用余弦定理求CD→求时间t【尝试解答】由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB中，由正弦定理，得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝5（3＋3）·sin45°sin105°＝5（3＋3）·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝53（3＋1）3＋12＝103(海里)，又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝60°，BC＝203(海里)．在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900.∴CD＝30(海里)．则需要的时间t＝3030＝1(小时)．某单位在地震救灾中，需要在A、B两地之间架设高压电线，测量人员在相距6000m的C、D两地(A、B、C、D在同一个平面上)，测得∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，∠BCD＝30°，∠BDC＝15°(如图3－8－5)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是A、B距离的1.2倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？(参考数据：2≈1.4，3≈1.7，7≈2.6)【解】在△ACD中，∠CAD＝180°－∠ACD－∠ADC＝60°，CD＝6000，∠ACD＝45°，根据正弦定理AD＝CDsin45°sin60°＝23CD，在△BCD中，CD＝6000，∠BCD＝30°，∠CBD＝180°－∠BCD－∠BDC＝135°，根据正弦定理BD＝CDsin30°sin135°＝22CD.又△ABD中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90°，AB＝AD2＋BD2＝23＋12CD＝100042，实际所需...
