(江苏专用)2013高考数学总复习-第六篇-数列、推理与证明《第33讲-等比数列及其前n项和》课件-理-苏教版VIP免费

第33讲等比数列及其前n项和基础梳理1．等比数列的定义如果一个数列，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，通常用字母q表示．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝.从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数公比a1·qn－13．等比中项若，那么G叫做a与b的等比中项．4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·，(n，m∈N＋)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则.(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．G2＝a·b(ab≠0)qn－mak·al＝am·an(4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝；当q≠1时，Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q.qn.na1一个推导利用错位相减法推导等比数列的前n项和：Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1，同乘q得：qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn，两式相减得(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝a11－qn1－q(q≠1)．两个防范(1)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．三种方法等比数列的判断方法有：(1)定义法：若an＋1an＝q(q为非零常数)或anan－1＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列．(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列．双基自测1．若数列{an}为等比数列，则下面四个命题：①{a2n}是等比数列；②{a2n}是等比数列；③1an是等比数列；④{lg|an|}是等比数列．其中正确的个数是________．答案32．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q＝________.解析由题意知：q3＝a5a2＝18，∴q＝12.答案123．在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6＝________.解析由等比数列的性质得：a2a6＝a24＝16.答案164．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2＝________.解析设等比数列的首项为a1，公比为q.因为8a2＋a5＝0，所以8a1q＋a1q4＝0.∴q3＋8＝0，∴q＝－2，∴S5S2＝a11－q51－q·1－qa11－q2＝1－q51－q2＝1－－251－4＝－11.答案－115．(2011·广东卷)已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝________.解析由a4－a3＝a2q2－a2q＝2q2－2q＝4，解得q＝2(q＞1)．答案2考向一等比数列基本量的计算【例1】►(2011·全国卷)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30.求an和Sn.[审题视点]列方程组求首项a1和公差d.解设{an}的公比为q，由题设得a1q＝6，6a1＋a1q2＝30，解得a1＝3，q＝2或a1＝2，q＝3.当a1＝3，q＝2时，an＝3·2n－1，Sn＝3·(2n－1)；当a1＝2，q＝3时，an＝2·3n－1Sn＝3n－1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．【训练1】等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a4＝329，且公比q∈(0,1)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若该数列前n项和Sn＝21，求n的值．解(1) a3·a4＝a1·a6＝329，又a1＋a6＝11，故a1，a6看作方程x2－11x＋329＝0的两根，又q∈(0,1)∴a1＝323，a6＝13，∴q5＝a6a1＝132，∴q＝12，∴an＝323·12n－1＝13·12n－6.(2)由(1)知Sn＝6431－12n＝21，解得n＝6.考向二等比数列的判定或证明【例2】►已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋an＋12，n∈N*.(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．[审题视点]第(1)问把bn＝an＋1－an中an＋1换为an－1＋an2整理可证；第(2)问可用叠加法求an.(1)证明b1＝a2－a1＝1...