(江苏专用)2013高考数学总复习-第四篇-三角函数、解三角形《第24讲-正弦定理和余弦定理》课件-理-苏教版VIP免费

第24讲正弦定理和余弦定理基础梳理1．正弦定理：asinA＝bsinB＝csinC＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(2)a＝，b＝，c＝；(3)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R等形式，以解决不同的三角形问题．2RsinA2RsinB2RsinC2．余弦定理：a2＝，b2＝，c2＝．余弦定理可以变形为：cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.3．S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.b2＋c2－2bccosAa2＋b2－2abcosCa2＋c2－2accosB4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数无解一解两解一解一解无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角．两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．双基自测1．(2011·镇江统考)设△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a，b，c，且acosA＝csinC，那么A＝________.解析由acosA＝csinC，asinA＝csinC，得asinA＝acosA，即sinA＝cosA，所以A＝π4.答案π42．(2011·济南外国语检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，则角A的大小为________．解析由2sinB＋π4＝2，得B＝π4，由正弦定理，得sinA＝asinBb＝2sinπ42＝12，又A＜B＝π4，所以A＝π6.答案π63．已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝2，b＝6，A＋C＝2B，则A＝________.解析由A＋C＝2B，A＋B＋C＝π，得A＋C＝2π3，B＝π3，由正弦定理，得sinA＝asinBb＝2sinπ36＝22.又A＜B＝π3，所以A＝π4.答案π44．(2011·山东省实验中学测试)在△ABC中，A＝120°，b＝1，面积为3，则a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝________.解析由面积公式，得3＝12bcsinA＝34c，所以c＝4.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝21，从而由正弦定理，得a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝asinA＝27.答案275．(2011·南京模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c,1＋tanAtanB＝2cb，则角A的大小为________．解析1＋sinAcosBsinBcosA＝2sinCsinB，sin(A＋B)＝2sinCcosA因为sinC≠0，所以cosA＝12，A＝π3.答案π3考向一利用正弦定理求解三角形【例1】►(1)在△ABC中，B＝60°，C＝75°，a＝8，求角A及b，c；(2)在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°，求角A、C和边c.[审题视点]已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，要注意解的判断．【训练1】(2011·新课标卷)在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC的最大值为________．解析由正弦定理知ABsinC＝3sin60°＝BCsinA，∴AB＝2sinC，BC＝2sinA.又A＋C＝120°，∴AB＋2BC＝2sinC＋4sin(120°－C)＝2(sinC＋2sin120°cosC－2cos120°sinC)＝2(sinC＋3cosC＋sinC)＝2(2sinC＋3cosC)＝27sin(C＋α)，其中tanα＝32，α是第一象限角．由于0°＜C＜120°，且α是第一象限角，因此AB＋2BC有最大值27.答案27考向二利用余弦定理求解三角形【例2】►在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cosBcosC＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．[审题视点]由cosBcosC＝－b2a＋c，利用余弦定理转化为边的关系求解．【训练2】已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2A2＋cosA＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．解(1)由2cos2A2＋cosA＝0，得1＋cosA＋cosA＝0，即cosA＝－12， 0＜A＜π，∴A＝2π3.(2)由余弦定理得...