12.3-角的平分线的性质(巩固练习)VIP免费

12.3角平分线的性质旧知回顾角平分线的定义：角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的角平分线OBACOBAC∠AOC=BOC∠∠AOC=BOC∠∠AOB=2AOC=2BOC∠∠∠AOB=2AOC=2BOC∠∠在△ADC和△ABC中，AD=ABAC=ACDC=BC∴△ADC≌ABC△（SSS）∴∠DAE=DAE∠==尺规作图已知:∠AOB,如图.求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.作法:用尺规作角的平分线.1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C..3.作射线OC.老师提示:作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.ABOC则射线OC就是∠AOB的平分线.EDAＢＭＮＣ为什么OC是角平分线呢？OＯ想一想：已知：OM=ON，MC=NC。求证：OC平分∠AOB。证明：在△OMC和△ONC中，OM=ON，MC=NC，OC=OC，∴△OMC≌△ONC（SSS）∴∠MOC=∠NOC即：OC平分∠AOB为什么OC是角平分线呢？想一想：为什么OC是角平分线呢？想一想：思考：角平分线有什么性质呢？OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点，1.操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PDOA⊥，PEOB,⊥点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：2.观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结论：____________PDPE第一次第二次第三次COBAPD=PEpDE角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等题设：一个点在一个角的平分线上结论：它到角的两边的距离相等已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PDOA⊥，PEOB⊥，垂足分别是D、E.求证：PD=PE.AOBPED结论：C数学符号表示已知和求证：即∵OC是∠AOB的平分线,且PD⊥OA,PE⊥OB∴PD=PE(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)几何语言表示:角平分线性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。EDOABPCPAOBCED12已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E求证:PD=PE例题证明：∵OC平分∠AOB（已知）∴∠1=2∠（角平分线的定义）∵PDOA⊥，PEOB⊥（已知）∴∠PDO=PEO∠（垂直的定义）在△PDO和△PEO中∠PDO=PEO∠（已证）∠1=2∠（已证）OP=OP（公共边）∴△PDOPEO≌△（AAS）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）PAOBCED12注意特别是文字性叙述的几何证明题如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=__________cm.ADOBEPC4随课巩固例1:如图，在△ABC中，∠C＝900，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC＝8,BD＝5，则点D到AB的距离为？ACDBEE例2：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P。求证：点P到三角形三边的距离均相等。ABCPEDFMNNDNABCPDNABCPDNEFABCPDNABCPABCP证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上∴PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即点P到边AB、BC、CA的距离相等例3：在△OAB中，OE是∠AOB的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D，求证：AC=BD。OABECDOABECDOABECDA0BMNPC1、如图，OC平分∠AOB，PM⊥OB于点M，PN⊥OA于点N，△POM的面积为6，OM=6，则PN=_______。22、如图:△ABC中,∠C=900，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF，求证：CF=EBACDBEFHL3、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=CB，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E。求证：△DBE的周长等于AB。ABCDE证明：周长=DE+EB+BD=CD+DB+EB=CB+EB=AC+EB=AE+EB=ABB思考：如图所示OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?OAEDCP答：PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点这个角两边的距离,所以不一定相等.如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建？P1l1l2l3练习1：如图，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分线ＢＤ与∠Ｃ的外角的平分线ＣＥ相交于点Ｐ．求证：点Ｐ到三边ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直线的距离相等．ＡＢＣＤＥＰFGHＢＰAAS证明：过点P作PG、PF、PH分别垂直于AB、BC、CA，垂足为G、F、H∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上∴PG=PF（在角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PF=PH.∴PG=PF=PH.即点P到边AB、BC、CA的距离相等练习2：如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到∠AOB的两边的距离相等.C●D●ABOP知识拓展如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DEAB⊥，垂足为E。（1）已知CD=4cm，求AC的长；（2）求证：AB=AC+CDBACDE