1/3平均值不等式(第二课时)【目标】1．掌握两个正数的算术平均数不小于它们的的定理，并会简单运用；2．利用不等式求最值时要注意到“一正”“二定”“三相等”．【重点】均值不等式的灵活应用．【难点】利用不等式求最值的手法与技巧【教学过程】一．复习：基本公式及定理：【定理1】对于Rba,，都有abba222（当且仅当ab时等号成立）；【定理2】对于,abR，则2abab（当且仅当ab时等号成立）；【定理3】对于任意的正数naaa,,,21)2(n有naaan21nnaaa21（当且仅当naaa21时等号成立）；【备注】两个正数a与b的算术平均数不小于它的几何平均数。【几个重要的不等式】（1）ab22ab222ab（等号仅当ab时成立）；（2）（1）的加强式：||222abba；（3）如果,abR，则222ab2abab211ab（等号仅当ab时成立）．3．关于函数)0(kxkxy的性质．4．最值定理：当两个正数的和一定时，其乘积有最大值；当两个正数的乘积一定时，其和有最小值．重视三个要素：“一正”“二定”“三相等”，三者缺一不可．二．例题讲解【例1】设cba,,为ABC的三条边，求cbacbcabacba的最小值．解：acba)(21acbbcaacbcbabcab)(21bcaabbbcacabcbac)(21cbaabccbabaccbacbcabacba3)222(21当且仅当cba时取等号。【变式训练】设zyx，Rn，且yx1zxnzy1恒成立，求n的最大值。解：yxzxnzyzxyxzyyx)()(zyzyyx)()(yxzy2zyyx令yxzytzyyx，则2t当且仅当zxy2时取等号。所以4n即n的最大值4。【例2】已知yx,为正实数，且111yx，求yx2的最小值。正解：yx2)11)(2(yxyx2/3错解：因为111yx，所以112xy即4xyyx22422xy错因：忽视等号成立的条件，第一个均值不等式等号条件yx，第二个均值不等式等号条件yx2，要使两个等号成立则需0yx，不合题意。yxxy23223。当且仅当yx2即12x时取等号。【点评】将问题转化为双钩函数求最值是利用均值不等式解题的一种技巧。【变式训练1】已知yx,为正实数，且yx820xy，求yx的最小值。【变式训练2】在等号右侧两个分数的分母括号处各填上一个自然数并使这两个自然数之和最小：911．【变式训练3】函数1)3(log4xy（0a)1a的图象恒过点A，若点A是在直线01nymx上，其中0mn，求nm21的最小值．（07年山东）【变式训练4】设Ryx,满足约束条件0,002063yxyxyx若目标函数byaxZ（0,0ba）的值是最大值为12，求23ab的最小值。625（09年山东）【变式训练5】实数yx,满足11122yx，求222yx最小值。【变式训练6】已知RbRa,，且0ab，3422ba，求2211ba的最小值。【例3】若0yx且1xy，则yxyx22的最小值。解：yxyx22yxyx2)(2222yxyx当且仅当2yx即251x时取等号。【变式训练】已知,,xyzR，230xyz，求2yxz的最小值。（08年江苏）解：由230xyz得32xzy，代入2yxz得229666344xzxzxzxzxzxz，当且仅当x＝3z时取“＝”．【例4】已知0,0yx，822xyyx求yx2的最小值。解：xyyx2282)22(2yxyx设yxt2，则842tt得：8t【变式训练1】设0,0yx，xyyx62求xy的最小值。【变式训练2】已知0,0yx，0a，不等式)(22yxaxyx恒成立，求a的最小值。解：yxxyxxu22)(2)2(yxyxx3/3【例5】求xxxxfcossincos)(23的最大值。解：xxxxfcossincos)(23xxxcoscos1cos23设]1,1[cost则123ttty，01232/tty解得：1t或31t2732三．小结1.注意配凑技巧2.利用均值不等式时的条件。作业：15P习题31B326P复习题一A6【补充练习】1．已知点),(baA在直线023yx上，求3273bau的最小值。2．已知)1,0(x，求xx121的最小值．3．（06年陕西）已知不等式1axyxy9对任意正实数,xy恒成立,求正实数a的最小值。4．（06年重庆）若,,0abc且423aabcbc,则2abc的最小值为（）A．31B．31C．232D．2325．设1x，则函数1)2)(5(xxxy的最小值是（）BA．8B．9C．10D．116．（05年重庆）若,xy是正数，求22)21()21(xyyx的最小值是（）A．3B．27C．4D．297．已知)2,0(x，求xx22cos2sin1的最小值．
