高中数学圆的方程VIP免费

高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1求过两点)4,1(A、)2,3(B且圆心在直线0y上的圆的标准方程并判断点)4,2(P与圆的关系．例2求半径为4，与圆042422yxyx相切，且和直线0y相切的圆的方程．例3求经过点)5,0(A，且与直线02yx和02yx都相切的圆的方程．例4、设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2；(2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02yxl：的距离最小的圆的方程．类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5已知圆422yxO：，求过点42，P与圆O相切的切线．解： 点42，P不在圆O上，∴切线PT的直线方程可设为42xky根据rd∴21422kk解得43k所以4243xy即01043yx因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2x．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200ryyxx，求出切点坐标0x、0y的值来解决，此时没有漏解．例6两圆0111221FyExDyxC：与0222222FyExDyxC：相交于A、B两点，求它们的公共弦AB所在直线的方程．分析：首先求A、B两点的坐标，再用两点式求直线AB的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．解：设两圆1C、2C的任一交点坐标为),(00yx，则有：0101012020FyExDyx①■■■第1页共17页■■■0202022020FyExDyx②①－②得：0)()(21021021FFyEExDD． A、B的坐标满足方程0)()(212121FFyEExDD．∴方程0)()(212121FFyEExDD是过A、B两点的直线方程．又过A、B两点的直线是唯一的．∴两圆1C、2C的公共弦AB所在直线的方程为0)()(212121FFyEExDD．说明：上述解法中，巧妙地避开了求A、B两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例7、过圆外一点，作这个圆的两条切线、，切点分别是、，求直线的方程。练习：1．求过点，且与圆相切的直线的方程．解：设切线方程为，即， 圆心到切线的距离等于半径，∴，解得，∴切线方程为，即，当过点的直线的斜率不存在时，其方程为，圆心到此直线的距离等于半径，故直线也适合题意。所以，所求的直线的方程是或．2、过坐标原点且与圆相切的直线的方程为解：设直线方程为，即. 圆方程可化为，∴圆心为（2，-1），半■■■第2页共17页■■■径为.依题意有，解得或，∴直线方程为或.3、已知直线与圆相切，则的值为.解： 圆的圆心为（1，0），半径为1，∴，解得或.类型三：弦长、弧问题例8、求直线被圆截得的弦的长.例9、直线截圆得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得，弦心距，故弦长，从而△OAB是等边三角形，故截得的劣弧所对的圆心角为.例10、求两圆和的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例11、已知直线和圆，判断此直线与已知圆的位置关系.例12、若直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的取值范围.解： 曲线表示半圆，∴利用数形结合法，可得实数的取值范围是或.例13圆9)3()3(22yx上到直线01143yx的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l、2l的方程，从代数计算中寻找解答．解法一：圆9)3()3(22yx的圆心为)3,3(1O，半径3r．设圆心1O到直线01143yx的距离为d，则324311343322d．如图，在圆心1O同侧，与直线01143yx平行且距离为1的直线1l与圆有两个交点，这两个交点符合题意．■■■第3页共17页■■■又123dr．∴与直线01143yx平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个．解法二：符合题意的点是平行于直线01143yx，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直...