抛物线性质归纳及证明VIP免费

1/9抛物线的常见性质及证明概念焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦.性质及证明过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦两端点为),(11yxA,),(22yxB,倾斜角为,中点为C(x0,y0),分别过A、B、C作抛物线准线的垂线，垂足为A’、B’、C’.1.求证：①焦半径cos12||1ppxAF；②焦半径cos12||2ppxBF;③1|AF|＋1|BF|＝2p；④弦长|AB|＝x1＋x2＋p=2sin2p；特别地，当x1=x2(=90)时，弦长|AB|最短，称为通径，长为2p；⑤△AOB的面积S△OAB＝sin22p.证明：根据抛物线的定义，|AF|＝|AD|＝x1＋p2，|BF|＝|BC|＝x2＋p2，|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p如图2，过A、B引x轴的垂线AA1、BB1，垂足为A1、B1，那么|RF|＝|AD|－|FA1|＝|AF|－|AF|cos，∴|AF|＝|RF|1－cos＝p1－cos同理，|BF|＝|RF|1＋cos＝p1＋cos∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝p1－cos＋p1＋cos＝2psin2.S△OAB＝S△OAF＋S△OBF＝12|OF||y1|＋12|OF||y1|＝12·p2·(|y1|＋|y1|) y1y2＝－p2，则y1、y2异号，因此，|y1|＋|y1|＝|y1－y2|∴S△OAB＝p4|y1－y2|＝p4(y1＋y2)2－4y1y2＝p44m2p2＋4p2＝p221＋m2＝p22sin.CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOA1B1F图22/92.求证：①2124pxx；②212yyp；③1|AF|＋1|BF|＝2p.当AB⊥x轴时，有AFBFp，成立；当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：2pykx.代入抛物线方程：2222pkxpx.化简得：222222014pkxpkxk 方程（1）之二根为x1，x2，∴1224kxx.122111212121111112224xxpppppAFBFAABBxxxxxx121222121222424xxpxxppppppxxpxx.3.求证：'''FBABACRt∠.先证明：∠AMB＝Rt∠【证法一】延长AM交BC的延长线于E，如图3，则△ADM≌△ECM，∴|AM|＝|EM|，|EC|＝|AD|∴|BE|＝|BC|＋|CE|＝|BC|＋|AD|＝|BF|＋|AF|＝|AB|CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFENM图3xyC'CB'A'BOFKA3/9∴△ABE为等腰三角形，又M是AE的中点，∴BM⊥AE，即∠AMB＝Rt∠【证法二】取AB的中点N，连结MN，则|MN|＝12(|AD|＋|BC|)＝12(|AF|＋|BF|)＝12|AB|，∴|MN|＝|AN|＝|BN|∴△ABM为直角三角形，AB为斜边，故∠AMB＝Rt∠.【证法三】由已知得C(－p2，y2)、D(－p2，y1)，由此得M(－p2，y1＋y22).∴kAM＝y1－y1＋y22x1＋p2＝y1－y22·y212p＋p＝p(y1－y2)y21＋p2＝p(y1－－p2y1)y21＋p2＝py1，同理kBM＝py2∴kAM·kBM＝py1·py2＝p2y1y2＝p2－p2＝－1∴BM⊥AE，即∠AMB＝Rt∠.【证法四】由已知得C(－p2，y2)、D(－p2，y1)，由此得M(－p2，y1＋y22).∴MA→＝(x1＋p2，y1－y22)，MB→＝(x3＋p2，y2－y12)∴MA→·MB→＝(x1＋p2)(x2＋p2)＋(y1－y2)(y2－y1)4＝x1x2＋p2(x1＋x2)＋p24－(y1－y2)24＝p24＋p2(y212p＋y222p)＋p24－y21＋y22－2y1y24＝p22＋y1y22＝p22＋－p22＝0∴MA→⊥MB→，故∠AMB＝Rt∠.【证法五】由下面证得∠DFC＝90，连结FM，则FM＝DM.又AD＝AF，故△ADM≌△AFM，如图4∴∠1＝∠2，同理∠3＝∠4CDBRAxyOF图41234M4/9∴∠2＋∠3＝12×180＝90∴∠AMB＝Rt∠.接着证明：∠DFC＝Rt∠【证法一】如图5，由于|AD|＝|AF|，AD∥RF，故可设∠AFD＝∠ADF＝∠DFR＝，同理，设∠BFC＝∠BCF＝∠CFR＝，而∠AFD＋∠DFR＋∠BFC＋∠CFR＝180∴2(＋)＝180，即＋＝90，故∠DFC＝90【证法二】取CD的中点M，即M(－p2，y1＋y22)由前知kAM＝py1，kCF＝－y2＋p2＋p2＝－y2p＝py1∴kAM＝kCF，AM∥CF，同理，BM∥DF∴∠DFC＝∠AMB＝90.【证法三】 DF→＝(p，－y1)，CF→＝(p，－y2)，∴DF→·CF→＝p2＋y1y2＝0∴DF→⊥CF→，故∠DFC＝90.【证法四】由于|RF|2＝p2＝－y1y2＝|DR|·|RC|，即|DR||RF|＝|RF||RC|，且∠DRF＝∠FRC＝90∴△DRF∽△FRC∴∠DFR＝∠RCF，而∠RCF＋∠RFC＝90∴∠DFR＋∠RFC＝90∴∠DFC＝904.C’A、C’B是抛物线的切线【证法一】 kAM＝py1，AM的直线方程为y－y1＝py1(x－y212p)图5CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOF(p2，0)CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFM图6GHD1N1NMxyOF图7M1lCDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFM图8D15/9与抛物线方程y2＝2px联立消去x得y－y1＝py1(y22p－y212p)，整理得y2－2y1y＋y21＝0可见△＝(2y1)2－4y21＝0，故直线AM与抛物线y2＝2px相切，同理BM也是抛物线的切线，如图8.【证法二】由抛物线方程y...