实用标准文档精彩文案第7章拉普拉斯变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用．本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用．7.1拉氏变换的基本概念在代数中，直接计算328.957812028.6N53)164.1(是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为164.1lg53)20lg28.9lg5781(lg3128.6lglgN，然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数N．这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法．7.1.1拉氏变换的基本概念定义设函数)(tf当0t时有定义，若广义积分dtetfpt0)(在P的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为P的函数，记作)(PF，即dtetfPFpt0)()(（7-1）称（7-1）式为函数)(tf的拉氏变换式，用记号)()]([PFtfL表示．函数)(PF称为)(tf的拉氏变换(Laplace)(或称为)(tf的象函数)．函数)(tf称为)(PF的拉氏逆变换（或称为)(PF象原函数），记作)()]([1tfPFL，即)]([)(1PFLtf．关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：(1)在定义中，只要求)(tf在0t时有定义．为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在0t时，0)(tf．（2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数P是在复数范围内取值．为了方便起见，本章我们把P作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用．（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换．一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的．例7-1求一次函数attf)(（at，0为常数）的拉氏变换．解0000][)(][dtepaepatetdpadtateatLptptptpt2020][0paepadtepaptpt)0(p．7.1.2单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为0t)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流)(ti，以)(tQ表示上述电路中的电量，则.0,1,0,0)(tttQ由于电流强度是电量对时间的变化率，即实用标准文档精彩文案ttQttQdttdQtit)()(lim)()(0，所以，当0t时，0)(ti；当0t时，)1(lim)0()0(lim)0(00ttQtQitt．上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度．为此，引进一个新的函数，这个函数称为狄拉克函数．定义设tttt，，，00100)(，当0时，)(t的极限)(lim)(0tt称为狄拉克（Dirac）函数，简称为函数．当0t时，)(t的值为0；当0t时，)(t的值为无穷大，即0,0,0)(ttt．)(t和)(t的图形如图7-1和图7-2所示．显然，对任何0，有11)(0dtdtt，所以1)(dtt．工程技术中，常将函数称为单位脉冲函数，有些工程书上，将函数用一个长度等于1的有向线段来表示（如图7-2所示），这个线段的长度表示函数的积分，叫做函数的强度．例7-2求)(t的拉氏变换．解根据拉氏变换的定义，有dtedtedtedtettLptptptpt0000001lim0lim)1lim()()]([11lim1)()1(lim11lim1][1lim00000pppptpepepeppe，即1)]([tL．例7-3求单位阶梯函数0,10,0)(tttu的拉氏变换．解pepdtedtetutuLptptpt1]1[1)()]([000，)0(p．例7-4求指数函数atetf)(（a为常数）的拉氏变换．解dtedteeeLtapptatat0)(0][)(1apap，即实用标准文档精彩文案)(1][apapeLat．类似可得)0(][sin22pptL；)0(][cos22ppptL．习题7–1求1-4题中函数的拉氏变换1．tetf4)(．2．2)(ttf．3．attetf)(4．，()sin()(ttf是常数）．7.2拉氏变换的性质拉氏变换有以下几个主要性质，利用这些性质，可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换．性质1(线性性质)若1a，2a是常数，且)()]([11pFtfL，)()]([22pFtfL，则)]([)]([)]()([22112211tfLatfLatfatfaL)()(2211pFaPFa．（7-2）证明dtetfadtetfadtetfatfatfatfaLptptpt)()()]()([)]()([022011221102211)()()]([)]([22112211pFapFatfLatfLa．例7-5求下列函数的拉氏变换：（1）)1(1)(ateatf；（2）tttfcossin)(．解（1）)(1}11{1]}[]1[{1]1[1)]1(1[appappaeLLaeLaeaLatatat．（2）412221]2sin21[]cos[sin222pptLttL．性质2（平移性质）若)()]([pFtfL，则)()]([a...
