数列求和的几种方法、数列的实际应用问题一.教学难点：数列的实际应用问题二.课标要求：1.探索并掌握一些基本的数列求前n项和的方法；2.能在具体的问题情境中，发现数列的通项和递推关系，并能用有关等差、等比数列知识解决相应的实际问题．三.命题走向：数列求和和数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位，一般情况下都是出一道解答题，解答题大多以数列为工具，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用逆推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法，这些题目都考查考生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，它们都属于中、高档题目．有关命题趋势：1.数列是一种特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的有效工具，三者的综合题是对基础和能力的双重检验，在三者交汇处设计试题，特别是代数推理题是高考的重点；2.数列推理题将继续成为数列命题的一个亮点，这是由于此类题目能突出考查学生的逻辑思维能力，能区分学生思维的严谨性、灵敏程度、灵活程度；3.数列与新的章节知识结合的特点有可能加强，如与解析几何的结合等；4.有关数列的应用问题也一直备受关注．【教学过程】一、基本知识回顾1.数列求通项与和（1）数列前n项和Sn与通项an的关系式：an＝11sssnn12nn．（2）求通项常用方法①作新数列法．作等差数列与等比数列．②累差叠加法．最基本的形式是：an＝（an－an－1）＋（an－1＋an－2）＋⋯＋（a2－a1）＋a1．③归纳、猜想法．（3）数列前n项和①重要公式：等差和等比数列的求和公式1＋2＋⋯＋n＝21n（n＋1）；12＋22＋⋯＋n2＝61n（n＋1）（2n＋1）；13＋23＋⋯＋n3＝（1＋2＋⋯＋n）2＝41n2（n＋1）2；②裂项相消法将数列的通项分成两个式子的代数和，即an＝f（n＋1）－f（n），然后累加抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法．用裂项法求和，需要掌握一些常见的裂项，如：)11(1))((1CAnBAnBCCAnBAnan、)1(1nn＝n1－11n等．③错位相减法（可用于推导等比数列前n项和公式）对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前n项和，常用错位相减法．nnncba，其中nb是等差数列，nc是等比数列，记nnnnncbcbcbcbS112211，则1211nnnnnqSbcbcbc，⋯④分组转化求和把数列的某些项放在一起先求和，然后再求Sn．⑤倒序相加法（可用于推导等差数列前n项和公式）2.递归数列数列的连续若干项满足的等量关系an＋k＝f（an＋k－1，an＋k－2，⋯，an）称为数列的递归关系．由递归关系及k个初始值可以确定的一个数列叫做递归数列．如由an＋1＝2an＋1，及a1＝1，确定的数列}12{n即为递归数列．递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：（1）归纳、猜想．（2）迭代法．（3）代换法．包括代数代换，对数代数，三角代数．（4）作新数列法．最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题．【典型例题】例1.已知数列na为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，求和：niiiaa111．解：首先考虑niiiaa111niiiaad11)11(1，则niiiaa111＝1111)11(1nnaanaad．点评：已知数列na为等差数列，且公差不为0，首项也不为0，下列求和11111nniiiiiiaadaa也可用裂项求和法．例2.求)(,32114321132112111*Nnn．解：)1(2211kkkak，])1n(n1321211[2Sn.1nn21n1121n1n131212112点评：裂项求和的关键是先将形式复杂的因式转化的简单一些．例3.设221)(xxf，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，可求得)6()5()0()4()5(fffff的值为____________解：课本中推导等差数列前n项和的方法为倒序相加法.因为22221221)1()(1xxxfxf所以22)1()0()5()4()6()5(ffffff原式＝622＝23点评：本题曾为上海高考题，主要考查考生对课本的熟练程度和倒序相加法的应用，其中有函数式子的变化，计算能力的考查．例4.已知1,0aa，数列na是首项为a，公比也为a的等比数列，令)(lgNnaabnnn，求数列nb的前n项和nS．解：,lgnnnnaabnaa，232341(23)lg(23)lgnnnnSaaanaaaSaaanaa⋯⋯①⋯⋯②①－②得：anaaaaSannnlg)()1(12，nnananaaaS)1(1)1(lg2点评：设数列na是等比数列，数列nb是等差数列，则对数列nnba的前n项和nS进行求解，均可用错位相减．例5.数列),60cos1000lg(),...60cos100...
