导数的几何意义VIP免费

1.1.3导数的几何意义定义：函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是0000()()li.mlimxxfxxfxyxx,|)(00xxyxf或00000()()()limlim.xxfxxfxyfxxx即：我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作:回顾由导数的意义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是:00(1)()();yfxxfx求函数的增量00()()(2);fxxfxyxx求平均变化率00(3)()lim.xyfxx取极限，得导数)2('),1('),(',)(12ffxfxxf求：设例的值代入求得导数值。再将自变量义求思路：先根据导数的定),('xfxxxxxxxxxxxfxxfxfxxx2)2(lim)(lim)()(lim)('02200＝解：由导数的定义有422)(')2('2)1(2)(')1('21xxxffxff＝处的导数。在：求函数例12xxyxxxyxy1111解法一：21111lim0xx111xxxxxxxxxyxxxy1解法二：xxxxxyxx211limlim0021'1xyxy21'00()()()limlimxxyfxxfxfxyxx在不致发生混淆时，导函数也简称导数．000()()()()().yfxxfxfxfxx函数在点处的导数等于函数的导函数在点处的函数值什么是导函数?由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当x=x0时,f’(x0)是一个确定的数.那么,当x变化时,f’(x0)便是x的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即:下面来看导数的几何意义:βy=f(x)PQMΔxΔyOxyβPy=f(x)QMΔxΔyOxy如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C上的任意一点,Q(x0+Δx,y0+Δy)为P邻近一点,PQ为C的割线,PM//x轴,QM//y轴,β为PQ的倾斜角..tan,,:xyyMQxMP则yx请问：是割线PQ的什么?斜率!PQoxyy=f(x)割线切线T请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时,割线PQ绕着点P逐渐转动的情况.我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PQ有一个确定位置PT.则我们把直线PT称为曲线在点P处的切线.设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.即:'00000()()()limlimxxfxxfxykfxxx切线这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.即:0'()kfx切线故曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是:))(()(000xxxfxfy/000/0/01y=f(x)P(x,f(x))f(x)y2f(x)>0,Xf(x)<0,X注：（）若曲线在点处的导数不存在，就是切线与轴平行。（）切线与轴正方向夹角为锐角，切线的斜率为正，切线与轴正方向夹角为钝角，切线的斜率为负。例1:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.QPy=x2+1xy-111OMyx.2)(2lim)11(1)1(lim)()(lim:2020000xxxxxxxfxxfkxxx解因此,切线方程为y-2=2(x-1),即y=2x.（1）求出函数在点x0处的变化率，得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率切线的斜率。)(0xf（2）根据直线方程的点斜式写出切线方程点斜式写出切线方程，即).)(()(000xxxfxfy求切线方程的步骤：练习线点点处线点处线318：已知曲y=x上一P(2,)，求：33(1)P的切的斜率；（2）P的切方程.])(33[lim31)()(33lim3131)(31limlim,31)1(2220322033003xxxxxxxxxxxxxxxxyyxyxxxx解：.42|22xy即点P处的切线的斜率等于4.(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0..,,,...,.附近的变化情况在述、比较曲线请描据图象根图象的数时间变化的函示跳水运动中高度随它表如图例21021056943112tttthttth0l1l2lthO0t1t2t311.图.,的变化情况刻画曲线在动点附近利用曲线在动点的切线.,,,变化情况在上述三个时刻附近的线刻画曲处的切线在我们用曲线解thtttxh210.,,.,几乎没有升降较平坦附近曲线比在所以轴平行于处的切线在曲线时当00001ttxlttht...