巧用因式分解妙解几何题安徽省阜南县张寨镇中心学校罗俊生内容摘要：数学中的一些几何问题，若用几何的方法去推理、论证，有时就不能得到满意的结果，并且浪费时间，误入歧途。这时若换个思维方式改用学过的因式分解方法求解，思路会豁然开朗。在教学中运用因式分解解几何题有“用于求值、用于证明不等式、用于判断几何图形的形状”等三种形式。关键词：求值证明不等式判断几何图形的形状正文：因式分解是中学数学中极其重要的恒等变形，它的应用极为广泛。数学中的一些几何问题，若用几何的方法去推理、论证，有时就不能得到满意的结果，并且浪费时间，误入歧途。这时若换个思维方式改用学过的因式分解方法求解，思路会豁然开朗。不但能找到联系已知与未知的解题方法，而且还能化繁为简、化难为易。在教学中运用因式分解解几何题有“用于求值、用于证明不等式、用于判断几何图形的形状”等三种形式。下面是我在教学中一些应用举例：一、用于求值例1、已知直角三角形的三边a、b、c,且两直角边a、b满足等式（a2+b2）2-2（a2+b2）-15=0求斜边c的值。解析：（a2+b2）2-2（a2+b2）-15具有可因式分解的特征，可以进行因式分解为（a2+b2-5）（a2+b2+3）。而（a2+b2）2-2（a2+b2）-15=0就有（a2+b2-5）（a2+b2+3）=0则有a2+b2=5，a2+b2=-3（不合题意，舍去），即c=√￣=，问题得意解决。解：方程可以变形为（a2+b2）2-2（a2+b2）-15=0（a2+b2-5）（a2+b2+3）=0则有a2+b2=5，a2+b2=-3（不合题意，舍去），即c=√￣=二、用于证明不等式例2、若a、b、c,是△ABC的三条边，求证：a2-b2+c2-2ac<0解析：a、b、c,是△ABC的三条边，根据三角形边的关系：a+b-c>0a-b-c<0。再把a2-b2+c2-2ac进行因式分解为（a2+c2-2ac）-b2=（a-c）2-b2=(a+b-c)(a-b-c)。就可以找到数量关系。证明：a2-b2+c2-2ac=（a2+c2-2ac）-b2=（a-c）2-b2=(a+b-c)(a-b-c)∵a、b、c,是三角形的三条边,∴a+b-c>0a-b-c<0∴(a+b-c)(a-b-c)<0,即a2-b2+c2-2ac<0三、用于判断几何图形的形状例3、已知一个凸四边形ABCD的四条边的长顺次是a、b、c、d，且a2+ab-ac-bc=0,b2+bc-bd-cd=0.则四边形ABCD是什么四边形？解析：要判断四边形的形状，就要找出四边形的边、角关系。本题中没有给出角的关系，只能从边的关系入手，分析代数式a2+ab-ac-bc和b2+bc-bd-cd可知，a2+ab-ac-bc=（a+b）(a-c)；b2+bc-bd-cd=（b+c）(b-d)，再根据方程的性质就可以得到：a=c，b=d四边形的形状就显而易见了。解：∵a2+ab-ac-bc=0∴（a+b）(a-c)=0又∵a+b>0∴a=c又∵b2+bc-bd-cd=0∴（b+c）(b-d)=0又∵b+c>0∴b=d由a=c，b=d可知四边形ABCD是平行四边形。总之，数学教学需要教师边教学边反思，把总结反思出来的综合性知识及时还原于学生，学生能感受到知识融会贯通，体会到数学思想的应用，这样，学生才能在老师的引导下乐学、爱学。参考资料：1、沪科版八年级数学（下）教材2、沪科版八年级数学《鼎尖教案》作者简介：罗俊生，男、安徽省阜南县张寨镇中心学校教师，本科学历，中学数学高级教师，市级优秀班主任，县级名师，学科带头人。长期从事农村一线教学，对农村数学教学有独到的研究。有二十余篇文章在省、市级刊物上发表或获奖。工作单位：安徽省阜南县张寨镇中心学校联系电话：15256826493邮箱：1445201382qq.com邮编：236310
