二次函数基本定义编辑VIP专享VIP免费

二次函数基本定义编辑一般地，把形如y=ax2+bx+c（其中a、b、c是常数，a≠0，b，c可以为0）的函数叫做二次函数（quadratic二次函数及其图像function），其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。x为自变量，y为因变量。等号右边自变量的最高次数是2。二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线[1]，顶点坐标，交点式为（仅限于与x轴有交点的抛物线），与x轴的交点坐标是和。注意：“变量”不同于“自变量”，不能说“二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数”。“未知数”只是一个数（具体值未知，但是只取一个值），“变量”可在实数范围内任意取值。在方程中适用“未知数”的概念（函数方程、微分方程中是未知函数，但不论是未知数还是未知函数，一般都表示一个数或函数——也会遇到特殊情况），但是函数中的字母表示的是变量，意义已经有所不同。从函数的定义也可看出二者的差别，如同函数不等于函数的关系。[2-3]2函数性质11.二次函数是抛物线，但抛物线不一定是二次函数。开口向上或者向下的抛物线才是二次函数。抛物线是轴对称图形，不是中心对称图形。对称轴为直线。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）。2.抛物线有一个顶点P，坐标为P。当时，P在y轴上；当时，P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口越小。|a|越小，则抛物线的开口越大。4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a与b同号时（即ab>0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0），对称轴在y轴右。5.常数项c决定抛物线与y轴交点。抛物线与y轴交于(0,c）6.抛物线与x轴交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点。时，抛物线与x轴有1个交点。当时，抛物线与x轴没有交点。当时，函数在处取得最小值；在上是减函数，在2上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是。当时，函数在处取得最大值；在上是增函数，在上是减函数；抛物线的开口向下；函数的值域是。当时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax²+c(a≠0)。7.定义域：R值域：当a>0时，值域是；当a<0时，值域是。奇偶性：当b=0时，此函数是偶函数；当b不等于0时，此函数是非奇非偶函数。3周期性：无解析式：①一般式：⑴a≠0⑵若a>0，则抛物线开口朝上；若a<0，则抛物线开口朝下；⑶顶点：；⑷若Δ>0，则图象与x轴交于两点：和；若Δ=0，则图象与x轴切于一点：若Δ<0，图象与x轴无公共点；②顶点式：此时顶点为（h,t)此时，对应顶点为，其中,；③交点式：图象与x轴交于和两点。43表达式编辑顶点式y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k)[4]对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。解：设y=a(x-1)²+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)²+2。注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。[3]具体可分为下面几种情况：当h>0时，y=a(x-h)²的图象可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到；当h<0时，y=a(x-h)²的图象可由抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位得到；当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图象；当h>0,k<0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；当h<0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象；当h<0,k<0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象。[5]交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)[仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0].已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x1,0)和B(x2,0),我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。由一般式变为交点式的步骤：二次函数(16张)56