向量数乘运算及其几何意义VIP免费

2.2.3向量的数乘运算及其几何意义安吉县昌硕高级中学姚秀梅1.向量加法三角形法则:aAbBCbaaaAbBbOCba特点:首尾相接，首尾连特点:共起点babBaABAab�O特点：共起点，连终点，方向指向被减数2.向量加法平行四边形法则:3.向量减法三角形法则:实际背景表示，试画出该向量。用秒的位移对应的向量那么在同方向上向量，一秒钟的位移对应一物体作匀速直线运动aa33,aa3在物理中位移与速度的关系：s=vt，力与加速度的关系：f=ma.其中位移、速度，力、加速度都是向量，而时间、质量都是数量讲授新课思考题1:已知向量如何作出和a,aaa(a)(a)(a)?aOAaBaCaNMQPaaaOCOAABBCaaa�记:aaa3a即:OC3a.�同理可得:PN(a)(a)(a)3a�思考题2:向量与向量有什么关系?向量与向量有什么关系?3aaa3a(1)向量的方向与的方向相同,向量的长度是的3倍,即3aaa3a3a3a.(2)向量的方向与的方向相反,向量的长度是的3倍,即3aa3aa3a3a.一般地，实数一般地，实数λλ与向量与向量aa的的积积是一个是一个向量向量，，这种运算叫做这种运算叫做向量的数乘运算向量的数乘运算，记作，记作λλaa，，它的长度和方向规定如下：它的长度和方向规定如下：(1)|(1)|λλaa|=||=|λλ||||aa||(2)(2)当当λ>0λ>0时时,,λλaa的方向与的方向与aa方向方向相同相同；；当当λ<0λ<0时时,,λλaa的方向与的方向与aa方向方向相反相反；；特别地，当特别地，当λ=0λ=0或或a=0a=0时时,,λλaa==00定义:向量向量bb与非零向量与非零向量aa共线共线当且仅当当且仅当有唯一一个实数有唯一一个实数λλ，使得，使得b=b=λλaa2)2)bb可以是零向量吗可以是零向量吗??思考思考:1):1)aa为什么要是非零向量为什么要是非零向量??练习P100第4题思考:(1)3(2)(3)(2a)?(32)a?2a3a?2(a+b)=?2a+2b=?例1.计算:(1)(3)4a(2)3(ab)2(ab)a(3)(2a3bc)(3a2bc)12a5ba5b2c(23)a?6a6a(23)a2a3a3(2a)(32)a5a5a数乘向量的运算律:(1)(a)()a(2)()aaa(3)(ab)ab,设为实数,那么以上通过作图可验证练习P100第5题2a+2b2(a+b)=例例22如图，已知如图，已知AD=3ABAD=3AB，，DE=3BDE=3BCC，，试判断试判断ACAC与与AEAE是否共线。是否共线。ADECB一、一、①①λλaa的定义及运算律的定义及运算律②②向量共线定理向量共线定理(a≠0)(a≠0)b=b=λλaa向量向量aa与与bb共线共线二、定理的应用：二、定理的应用：1.1.证明向量共线证明向量共线2.2.证明三点共线证明三点共线:AB=:AB=λλBCA,B,CBCA,B,C三点共线三点共线3.3.证明两直线平行证明两直线平行::AB=AB=λλCDABCD∥CDABCD∥ABAB与与CDCD不在同一直线上不在同一直线上直线直线AB∥AB∥直线直线CDCD小结:作业：１．P101Ａ组9.10.12.Ｂ组４２．作业6如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，点中，点MM是是ABAB中点中点，点，点NN在线段在线段BDBD上，且有上，且有BN=BDBN=BD，求证：，求证：MM、、NN、、CC三点共线。三点共线。31ADBCMN提示：设提示：设AB=AB=aaBC=BC=bb则则MN=…=MN=…=a+a+bb6131MC=…=MC=…=a+a+bb21(1)(1)根据定义，求作向量根据定义，求作向量3(23(2aa))和和(6(6aa))((aa为非零为非零向量向量))，并进行比较。，并进行比较。(2)(2)已知向量已知向量a,ba,b，求作向量，求作向量2(2(a+ba+b))和和22aa++22bb，并进行比较。，并进行比较。a)2(3a)2(3aa6=abbaba22a2b2baba22)(2