平面向量的概念及线性运算VIP免费

4．1平面向量的概念及线性运算考点梳理一、向量的有关概念及表示方法1．向量的有关概念名称定义备注向量既有_______又有_______的量；向量的大小叫做向量的_____(或_______)平面向量是自由向量零向量长度为_______的向量；其方向是任意的记作___________大小方向模长度零0单位向量长度等于_________________的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向__________或___________的非零向量共线向量_______________向量又叫做共线向量0与任一向量_______或共线相等向量长度__________且方向_________的向量相反向量长度_________且方向___________的向量0的相反向量为01个单位长度相同相反方向相同或相反平行相等相同相等相反2．向量的表示方法(1)字母表示法：如a，AB→等．(2)几何表示法：用一条___________表示向量．有向线段二、向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算____________法则____________法则(1)交换律：a＋b＝_______.(2)结合律：(a＋b)＋c＝____________.三角形平行四边形b＋aa＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差________法则a－b＝a＋(－b)三角形数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)|λa|＝______.(2)当λ＞0时，λa与a的方向________；当λ＜0时，λa与a的方向________；当λ＝0时，λa＝________λ(μa)＝______；(λ＋μ)a＝____________；λ(a＋b)＝____________.|λ||a|相同相反0λμaλa＋μaλa＋λb考点自测1.下列等式不正确的是()A．a＋0＝aB．a＋b＝b＋aC.AB→＋BA→≠0D.AC→＝DC→＋AB→＋BD→解析：方法一： AB→与BA→为相反向量，∴AB→＋BA→＝0，∴C不正确．方法二：AB→＋BA→＝(OB→－OA→)＋(OA→－OB→)＝OB→－OB→－OA→＋OA→＝0.∴C不正确．答案：C2．如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()A.AB→＝DC→B.AD→＋AB→＝AC→C.AB→－AD→＝BD→D.AD→＋CB→＝0解析：A显然正确，由平行四边形法则知B正确.AB→－AD→＝DB→，故C错误．D中AD→＋CB→＝AD→＋DA→＝0.答案：C3．在平行四边形ABCD中，AC与BD交点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC→＝a，BD→＝b，则AF→等于()A.14a＋12bB.23a＋13bC.12a＋14bD.13a＋23b解析：如图所示， E是OD的中点，∴OE→＝14BD→＝14b.又 △ABE∽△FDE，∴AEEF＝BEDE＝31，∴AE→＝3EF→，∴AE→＝34AF→.在△AOE中，AE→＝AO→＋OE→＝12a＋14b.∴AF→＝43AE→＝23a＋13b.答案：B4．若ABCD是正方形，E是DC边的中点，且AB→＝a，AD→＝b，则BE→等于()A．b＋12aB．b－12aC．a＋12bD．a－12b解析：如图所示，BE→＝BC→＋CE→＝AD→－12AB→＝b－12a.答案：B5．设四边形ABCD中，有DC→＝12AB→，且|AD→|＝|BC→|，则这个四边形是()A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形解析：由DC→＝12AB→知四边形ABCD是梯形，又|AD→|＝|BC→|，所以四边形ABCD是等腰梯形，故选C.答案：C疑点清源1.向量的两要素向量具有大小和方向两个要素．用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系．同向且等长的有向线段都表示同一向量．或者说长度相等、方向相同的向量是相等的．向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小．2．向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线(或重合)的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合.题型探究题型一平面向量的基本概念例1.判断下列命题是否正确，不正确的说明理由．(1)若向量a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b；(2)若向量|a|＝|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意向量|a|＝|b|，且a与b的方向相同，则a＝b；(4)由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行；(5)向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；(6)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量．解析：(1)不正确．因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故①不正确．(2)不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等，不能判断方向．(3)正确． |...