三角函数的图象和性质VIP免费

3．5三角函数的图象和性质考点梳理1.周期函数(1)周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有__________________，那么函数f(x)就叫做周期函数．________叫做这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个____________，那么这个____________就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)T最小正数最小正数2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域x∈Rx∈R{x|x∈R且x≠π2＋kπ，k∈Z}值域____________________________________{y|－1≤y≤1}{y|－1≤y≤1}R单调性________________上递增，k∈Z；________________上递减，k∈Z___________上递增，k∈Z；___________上递减，k∈Z_____________上递增，k∈Z－π2＋2kπ，π2＋2kππ2＋2kπ，3π2＋2kπ[(2k－1)π，2kπ][2kπ，(2k＋1)π]－π2＋kπ，π2＋kπ续表函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx最值x＝______________时，ymax＝1(k∈Z)；x＝⑭______________时，ymin＝－1(k∈Z)x＝__________时，ymax＝1(k∈Z)；x＝________时，ymin＝－1(k∈Z)无最值奇偶性________________________________π2＋2kπ－π2＋2kπ2kππ＋2kπ奇函数偶函数偶函数对称中心：__________对称中心：__________对称中心：__________对称性对称轴l：__________对称轴l：__________无周期性__________________(kπ，0)，k∈Zkπ＋π2，0，k∈Zkπ2，0，k∈Zx＝kπ＋π2，k∈Zx＝kπ，k∈Z2π2ππ考点自测1.设函数f(x)＝sin2x－π2，x∈R，则f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数解析：f(x)＝sin2x－π2＝－cos2x，f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数，排除A、C，又T＝π，故选B.答案：B2．函数y＝tanπ4－x的定义域是()A．{x|x≠π4，x∈R}B．{x|x≠－π4，x∈R}C．{x|x≠kπ＋π4，k∈Z，x∈R}D．{x|x≠kπ＋3π4，k∈Z，x∈R}解析： x－π4≠kπ＋π2，∴x≠kπ＋34π，k∈Z.答案：D3．函数f(x)＝sinx－3cosx(x∈[－π，0])的单调递增区间是()A.－π，－5π6B.－5π6，－π6C.－π3，0D.－π6，0解析： f(x)＝2sinx－π3的增区间为2kπ－π6，2kπ＋5π6(k∈Z)，∴当x∈[－π，0]时增区间为－π6，0，故选D.答案：D4．已知y＝tan(2x＋φ)的图象过点π12，0，则φ可以是()A．－π6B.π6C．－π12D.π12解析： y＝tan(2x＋φ)过点π12，0.∴tanπ6＋φ＝0，∴π6＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝kπ－π6.当k＝0时，φ＝－π6.答案：A5．若集合M＝{θ|sinθ≥12，0≤θ≤π}，N＝{θ|cosθ≤12，0≤θ≤π}，则M∩N＝__________.解析：首先作出正弦函数与余弦函数的图象，以及直线y＝12.如图结合图象可得集合M、N分别为M＝{θ|π6≤θ≤5π6}，N＝{θ|π3≤θ≤π}，由上可得M∩N＝{θ|π3≤θ≤5π6}．答案：{θ|π3≤θ≤5π6}疑点清源1.关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x∈R，恒有－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1，所以1叫做y＝sinx，y＝cosx的上确界，－1叫做y＝sinx，y＝cosx的下确界．在解含有正余弦函数的问题时，要注意深入挖掘正、余弦函数的有界性．2．对函数周期性概念的理解(1)周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，其中T是不为零的常数．如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一个x值不满足f(x＋T)＝f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期．(2)从周期函数的定义，对于条件等式“f(x＋T)＝f(x)”可以理解为自变量增加一个常数T后，函数值不变；从图象的角度看就是，每相隔距离T图象重复出现．因此对于f(ωx＋φ＋T)＝f(ωx＋φ)(ω＞0)，常数T不能说是函数f(ωx＋...