曲边梯形的面积汽车行驶的路程VIP专享VIP免费

1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程这些图形的面积该怎样计算？例题（阿基米德问题）：求由抛物线y=x2与直线x=1,y=0所围成的平面图形的面积．Archimedes，约公元前287年—约公元前212年BA1O1问题1：我们是怎样计算圆的面积的？圆周率是如何确定的？问题2：“割圆术”是怎样操作的？对我们有何启示？xy1.“”“”了解定积分的基本思想以直代曲逼近的思想.（重点）2.“”“”以直代曲逼近的思想的形成与求和符号.（难点）曲边梯形的概念：如图所示，我们把由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形．如何求曲边梯形的面积？abf(a)f(b)y=f(x)xyO对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”（即在很小范围内以直代曲)探究点1曲边梯形的面积直线x1，y0及曲线yx2所围成的图形（曲边梯形）面积S是多少？为了计算曲边梯形的面积S，将它分割成许多小曲边梯形，xyO1方案1方案2方案3y=x2解题思想“细分割、近似和、渐逼近”下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程AB1O1（1）分割把区间[0，1]等分成n个小区间：112i1in1n[0,],[,],,[,],,[,],nnnnnnnii11xnnn过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，它们的面积分别记作12inS,S,,S,,S.AB1O1每个区间长度为1niiSS（2）近似代替2ii1i11Sf()x()nnn（3）求和n12nii1nn2i1i122223SSSSS,i-11i-11f()()nnnn1[012(n1)]nAB1O1(i=1,2,…,n)（4）取极限n→∞当分割无限变细，即Δx→0(亦即n→+∞)时，1111S=lim1-1-=3n2n31即所求曲边梯形的面积为.331(n1)n(2n1)n6111(1)(1)3n2n演示区间[0,1]的等分数nS的近似值Sn20.1250000040.2187500080.27343750160.30273438320.31787109640.325561521280.329437262560.331382755120.3323574110240.3328452120480.33308923……我们还可以从数值上看出这一变化趋势20111,11limlim.3iinniixniiiifxxfnnSfxfn取在区间上任意一点处的值作为近似值，都有分割近似代替求和取极限一般地，对于曲边梯形，我们也可采用的方法，求其面积.思考1：已知物体运动路程与时间的关系,怎样求物体的运动速度？例如s(t)=3t2+2.则v(t)=s´(t)=6t+0.例如s(t)=3t2+2.则v(t)=s´(t)=6t+0.s=vt直接求出s=vt直接求出探究点2汽车行驶的路程思考2：已知物体运动速度为v(常量)及时间t，怎么求路程？思考3：如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)=－t2+2.那么它在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s是多少呢？思考3：如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)=－t2+2.那么它在0≤t≤1这段时间内行驶的路程s是多少呢？1SD2SD2()2vttOvt12ggggg3SDjSDnSD1n2n3njnn-1n4SD解：（1）分割在时间区间0,1上等间隔地插入1n个分点，将区间0,1等分成n个小区间：10,n，12,nn，…，1,1nn记第i个区间为1,(1,2,,)iiinnn，其长度为11iitnnn把汽车在时间段10,n，12,nn，…，1,1nn上行驶的路程分别记作：1S，2S，…，nS显然，1niiSS（2）近似代替当n很大，即t很小时，在区间1,iinn上，可以认为函数22vtt的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于左端点1in处的函数值2112iivnn，从物理意义看，就是汽车在时间段1,iinn(1,2,,)in上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻1in处的速度2112iivnn做匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是用小矩形的面积iS近似地代替iS，则有21112iiiiSSvtnnn2112(1,2,,)iinnnn①（3）求和由①得，21111112nnnniiiiiiSSv...