高中数学第一章预备知识 1.3.2 第1课时基本不等式的简单应用课时分层作业（含解析）北师大版必修第一册-北师大版高一第一册数学试题VIP免费

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课时分层作业(八)基本不等式的简单应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．设s＝a＋b2＋1，t＝a＋2b，则s与t的大小关系是()A．s≥tB．s>tC．s≤tD．s0，b>0，则下列不等式中错误的是()A．ab≤B．ab≤C．≥D．≤D[由基本不等式知A、C正确，由重要不等式知B正确，由≥得，ab≤∴≥，故选D.]4．下列各不等式：①a2＋1>2a；②|x＋|≥2；③≤2；④x2＋≥1，其中正确的个数是()A．3B．2C．1D．0B[仅②④正确．]5．若00，b>0，a＋2b＝2，则ab的最大值是________．[因为a＋2b≥2.所以2≤2，所以ab≤，当且仅当a＝2b＝1时取等号．]7．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________．x≤[用两种方法求出第三年的产量分别为A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b).∴1＋x＝≤＝1＋，∴x≤.当且仅当a＝b时等号成立．]8．设a，b为非零实数，给出不等式：①≥ab；②≥；③≥；④＋≥2.其中恒成立的不等式的序号是________．①②[由重要不等式a2＋b2≥2ab可知，①正确；＝≥＝＝，故②正确；对于③，当a＝b＝－1时，不等式的左边为＝－1，右边为＝－，可知③不正确；令a＝1，b＝－1可知④不正确．]三、解答题9．已知x，y，z是互不相等的正数，求证：x＋，y＋，z＋中，至少有一个大于2.[证明]∵＋＋＝＋＋>2＋2＋2＝6∴x＋，y＋，z＋中，至少有一个大于2.10．设a、b、c均为正数，求证＋＋≥a＋b＋c.[证明]∵a、b、c均是正数，∴，，均是正数，∴＋≥2c，＋≥2a，＋≥2b，三式相加得：2≥2(a＋b＋c)，∴＋＋≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时取等号．11．下列不等式一定成立的是()A．x＋≥2B．≥2C．＋≥2D．≤B[＝＋≥2，故选B.]12．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2C．＋>D．＋≥2D[当a＝b时，a2＋b2＝2ab，故A不成立；当a，b均小于零时，B，C不成立；由ab>0，得，均大于零，由基本不等式得＋≥2＝2.]13．设x＞0，y＞0，x＋y＝1，则＋≤a恒成立的a的最小值是()A．B．C．2D．2B[(＋)2＝1＋2≤1＋1＝2，当且仅当x＝y＝时，取等号，所以a≥，故选B.]14．设a>0，b>0，称为a，b的调和平均数．如图，C为线段AB上的点，且AC＝a，CB＝b，O为AB中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D.连接OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E.则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段_____的长度是a，b的几何平均数，线段____的长度是a，b的调和平均数．CDDE[在Rt△ADB中DC为高，则由射影定理可得CD2＝AC·CB，故CD＝，即CD的长度为a，b的几何平均数，将OC＝a－＝，CD＝，OD＝代入OD·CE＝OC·CD可得CE＝故OE＝＝，所以ED＝OD－OE＝，故DE的长度为a，b的调和平均数．]15．已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1)＋≥4；(2)＋＋≥8.[证明](1)∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4(当且仅当a＝b＝时等号成立)，∴＋≥4，∴原不等式成立．(2)∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴＋＋＝＋＋＝4＋2(＋)≥4＋4＝8(当且仅当a＝b＝时等号成立)，∴＋＋≥8，∴原不等式成立．

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