高中数学 第一章 三角函数 1.1 周期现象与周期函数优化训练 北师大版必修4-北师大版高一必修4数学试题VIP免费

1.1周期现象5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.月球围绕着地球转，月球到地球的距离y随时间的变化是周期性的吗？解析：由月球的运动规律,可知是周期性变化.2.走路时，我们的手臂自然地随步伐周期性地摆动，那么，手臂的周期摆动满足什么规律呢？解：如图所示，以ON代表手臂的垂直位置，当手臂摆动到OP位置，设θ=∠PON为摆动的幅角，而y为P点离开直线ON的水平距离，r为手臂的长度，根据初中平面几何知识可知y=rsinθ.3.列举自然界中存在的周期性现象.答案：自然界中存在的周期现象有：太阳的东升西落；月亮的圆缺；春、夏、秋、冬的变化等.10分钟训练(强化类训练，可用于课中)1.下列函数中函数值y随x的变化而周期性变化的是（）①f(x)=x②f(x)=2x③f(x)=1④f(x)=A.①②B.③C.③④D.①②③④解：①f(x+T)=x+T≠x，T≠0;②f(x+T)=2x+T≠2x=f(x)；③f(x+T)=1=f(x)；④设T是任意一个有理数，那么当x是有理数时，x+T也是有理数；当x为无理数时，x+T也是无理数，就是说f(x)与f(x+T)或者都等于1或者都等于0，因此在两种情况下，都有f(x+T)=f(x).答案：C2.今天是星期一，158天后的那一天是星期几?解：∵158=7×22+4，而今天是星期一,∴158天后的那一天是星期五.3.我们选定风车轮边缘上一点A，点A到地面的距离y随时间t的变化是周期性的吗？答案：是周期性的.4.已知f(x)是奇函数，且满足f(x+1)=，若f(-1)=1，（1）求证：f(x+4)=f(x)；（2）求f(-3).（1）证明：∵f(x+2)=，∴f(x+4)==f(x).（2）解：∵f(x)是奇函数，∴f(-3)=f(-3+4)=f(1)=-f(-1)=-1.5.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+3)=f(x),f(1)=-1,求f(11)的值.解：由f(x)为奇函数，得f(-x)=-f(x)，f(-1)=-f(1).又f(x+3)=f(x)，故f(11)=f(3×4-1)=f(-1)=1.30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.下列现象是周期现象的有（）①太阳的东升西落②月亮的圆缺③太阳表面的太阳黑子活动④心脏的收缩与舒张A.1个B.2个C.3个D.4个答案：D2.有以下现象：①鸟类的迁徙；②单摆的简谐振动；③交流电的电压变化规律；④化学元素的性质.其中是周期现象的有____________.答案：①②③④3.已知f(x+1)=-f(x),求证：f(x+2)=f(x).证明：f(x+2)=f［(x+1)+1］=-f(x+1)=-［-f(x)］=f(x).4.已知f(x+2)=,求证：f(x+4)=f(x).证明：f(x+4)=f［(x+2)+2］==f(x).5.求证：若函数y=f(x)(x∈R)的图像关于x=a对称，且关于x=b对称，则f［x+2(b-a)］=f(x).证明：设x是任意一个实数，因为函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称，故f(a+x)=f(a-x).同理，f(b+x)=f(b-x).于是f[x+2(b-a)]=f[b+(b+x-2a)]=f[b-(b+x-2a)]=f(2a-x)=f[a+(a-x)]=f[a-(a-x)]=f(x),即f［x+2(b-a)］=f(x).6.设f(x)是定义在R上的函数，且f(x+2)=f(x),f(x)为偶函数，在区间［2,3］上，f(x)=-2(x-3)2+4，求x∈［1,2］时，f(x)的解析式.解：令x∈[-3，-2]，则-x∈[2，3]，从而f(-x)=-2(-x-3)2+4=-2(x+3)2+4.又f(x)为偶函数，故f(-x)=f(x),即f(x)=-2(x+3)2+4,x∈[-3,-2].令x∈[1，2]，则x-4∈[-3，-2]，有f(x-4)=f(x)=-2(x-1)2+4.即当x∈[1，2]时，f(x)=-2(x-1)2+4.7.设f(x)是定义在R上的偶函数，其图像关于x=1对称，对任意的x1，x2∈［0,］,都有f(x1+x2)=f(x1)·f(x2).（1）设f(1)=2，求；（2）证明f(x+2)=f(x).（1）解：由f(x1+x2)=f(x1)·f(x2),x1,x2∈[0,]知f(x)=f()·f()≥0,x∈[0,1]，故f(1)=f(+)=f()·f()=[f()]2=2.∴.f()=f(+)=[f()]2=,即f(）=.（2）证明：由y=f(x)关于直线x=1对称，得f(x)=f(1+1-x)，f(x)=f(2-x).又f(-x)=f(x)，故f(-x)=f(2-x)，即f(x)=f(2+x).8.我们选定自行车车轮边缘上一点A，车轮的中心记为O，OA与竖直方向的夹角记为α，当自行车沿直线做匀速运动时，变量α随时间t的变化是周期性的吗？解：由其运动规律可知是周期性的.