湖南省新田一中高中数学必修二课时作业：4.3.2空间两点间的距离公式基础达标1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0，0，0)、A(4，0，0)、B(4，2，0)、A1(4，0，3)，则对角线AC1的长为()．A．9B.C．5D．2解析由已知求得C1(0，2，3)，∴|AC1|＝.答案B2．点P(x，y，z)满足＝2，则点P在()．A．以点(1，1，－1)为球心，以为半径的球面上B．以点(1，1，－1)为中心，以为棱长的正方体内C．以点(1，1，－1)为球心，以2为半径的球面上D．无法确定解析P满足到定点(1，1，－1)的距离为2.答案C3．已知△ABC顶点坐标分别为A(－1，2，3)，B(2，－2，3)，C，则△ABC的形状为()．A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析∵|AB|＝5，|BC|＝，|AC|＝，∴|AB|2＝|BC|2＋|AC|2，∴△ABC为直角三角形．答案C4．(2012·沈阳高一检测)已知A(1－t，1－t，t)，B(2，t，t)，则|AB|的最小值为________．解析|AB|＝＝＝，当t＝时，|AB|最小＝.答案5．到点A(－1，－1，－1)，B(1，1，1)的距离相等的点C(x，y，z)的轨迹方程是________．解析由题意知|CA|＝|CB|，则有＝整理得x＋y＋z＝0.答案x＋y＋z＝06．在空间直角坐标系中，x轴上到点P(4，1，2)的距离为的点的坐标是________．解析满足条件的x轴上的点的坐标可设为(a，0，0)，则有＝，即(a－4)2＝25，解得a＝9或a＝－1，所以满足条件的点为(9，0，0)或(－1，0，0)．答案(9，0，0)和(－1，0，0)7．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C的中点，求M、N两点间的距离．解如图分别以AB、AD、AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．由题意可知C(3，3，0)，D(0，3，0)，∵|DD1|＝|CC1|＝2，∴C1(3，3，2)，D1(0，3，2)，∵N为CD1的中点，∴N.1M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点，∴M(1，1，2)．由两点间距离公式，得|MN|＝＝.能力提升8．在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是()．A.B.C.D.解析如图所示，在正方体OABCO1A1B1C1中，设正方体的棱长为a(a＞0)，则点P是与O相对的顶点上，建立以OA，OC，OO1所在直线为x轴，y轴，z轴的空间直角坐标系，则P点坐标为(a，a，a)，由题意得＝1，∴a2＝，∴|OP|＝＝＝.答案A9．已知A(2，1，1)，B(1，1，2)，C(x，0，1)，且∠BAC＝90°，则x＝________．解析由题知，|BC|2＝|AC|2＋|AB|2，即(x－1)2＋(0－1)2＋(1－2)2＝(x－2)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(1－1)2＋(1－2)2，∴x＝2.答案210．如图所示，PA、AB、AD两两互相垂直，ABCD为矩形，M、N分别为AB、PC的中点，求证：MN⊥AB.证明法一如图所示，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，设B(a，0，0)，D(0，b，0)，C(a，b，0)，P(0，0，c)，因为M，N分别是AB，PC的中点，所以M，N，则|AM|2＝，|MN|2＝，|AN|2＝，所以，|AN|2＝|MN|2＋|AM|2，所以，MN⊥AB.法二由法一得|AN|2＝，|BN|2＝，∴|AN|2＝|BN|2，即|AN|＝|BN|.∴△ABN为等腰三角形，又∵M为底边AB的中点，∴MN⊥AB.2
