学业分层测评(二十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是________．【解析】l过定点A(1,1)， 12＋12－2×1＝0，∴点A在圆上， 直线x＝1过点A且为圆的切线，又l的斜率存在，∴l与圆一定相交．【答案】相交2．若P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为______________．【解析】由圆的性质可知，此弦与过点P的直径垂直，故kAB＝－＝1.故所求直线方程为x－y－3＝0.【答案】x－y－3＝03．已知过点P(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝________.【解析】由题意知圆心为(1,0)，由圆的切线与直线ax－y＋1＝0垂直，可设圆的切线方程为x＋ay＋c＝0，由切线x＋ay＋c＝0过点P(2,2)，∴c＝－2－2a，∴＝，解得a＝2.【答案】24．已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为2时，a＝________.【解析】因为圆的半径为2，且截得弦长的一半为，所以圆心到直线的距离为1，即＝1，解得a＝±－1，因为a>0，所以a＝－1.【答案】－15．(2016·苏州高一检测)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C与x轴交于A(1,0)，B(3,0)两点，且与直线x－y－3＝0相切，则圆C的半径为__________．【解析】设圆心为(2，b)，则半径r＝.又＝，解得b＝1，r＝.【答案】6．在圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上且到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有________个．【解析】圆心为(－1，－2)，半径r＝2，而圆心到直线的距离d＝＝，故圆上有3个点满足题意．【答案】37．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y＋c＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，且弦AB的长为2，则c＝__________.【导学号：60420087】【解析】圆心到直线的距离为d＝，因为弦AB的长为2，所以4＝3＋2，所以c＝±5.【答案】±58．直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若MN≥2，则k的取值范围是________．【解析】设圆心为C，弦MN的中点为A，当MN＝2时，AC＝＝＝1.∴当MN≥2时，圆心C到直线y＝kx＋3的距离d≤1.∴≤1，∴(3k＋1)2≤k2＋1.∴－≤k≤0.【答案】二、解答题9．(1)圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2,1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程；(2)已知圆C和y轴相切，圆心C在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，求圆C的方程．【解】(1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 两切线2x＋y－5＝0与2x＋y＋15＝0平行，∴2r＝＝4，∴r＝2，∴＝r＝2，即|2a＋b＋15|＝10，①＝r＝2，即|2a＋b－5|＝10，②又 过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直，∴＝，由①②③解得∴所求圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝20.(2)设圆心坐标为(3m，m)． 圆C和y轴相切，得圆的半径为3|m|，∴圆心到直线y＝x的距离为＝|m|.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1，∴所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.10．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4和直线l：kx－y－4k＋3＝0，(1)求证：不论k取何值，直线和圆总相交；(2)求当k取何值时，圆被直线l截得弦最短，并求此最短值．【解】(1)证明：由圆的方程(x－3)2＋(y－4)2＝4得圆心(3,4)，半径r＝2，由直线方程得l：y－3＝k(x－4)，即直线l过定点(4,3)，而(4－3)2＋(3－4)2＝2<4，所以(4,3)点在圆内．故直线kx－y－4k＋3＝0与圆C总相交．(2)因为直线经过定点P(4,3)，所以当PC与直线l垂直时，圆被直线截得的弦最短，设直线与圆的交点为A，B，则由勾股定理得2＝r2－|CP|2＝4－2＝2，所以AB＝2，又因为PC与直线kx－y－4k＋3＝0垂直，直线PC的斜率为kPC＝＝－1，所以直线kx－y－4k＋3＝0的斜率为k＝1.所以当k＝1时，圆被直线截得的弦最短，最短弦的长为2.[能力提升]1．直线l：y＝x＋b与曲线C：y＝有两个公共点，则b的取值范围是________．【解析】如图，直线夹在l1与l2之间，不含l2含l1，故1≤b＜.【答案】[1，)2．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y＝2的距离等于1，则半径r的取值范围是________．【解析】由已知圆心(3，－5)到直线4x－3y＝2的距离d＝5，又d－1
