1.3三角函数的诱导公式自主广场我夯基我达标1.如果α+β=180°，那么下列等式中成立的是（）A.cosα=cosβB.cosα=-cosβC.sinα=-sinβD.以上都不对思路解析：利用诱导公式β=π-α即可推导.cosα=cos(180°-β)=-cosβ.答案：B2.化简的结果是（）A.sin3-cos3B.cos3-sin3C.±(sin3-cos3)D.以上都不对思路解析：用诱导公式化简后，配成完全平方形式.===|cos3-sin3|. ＜3＜π,∴sin3＞0,cos3＜0.∴原式=sin3-cos3.答案：A3.设A、B、C是一个三角形的三个内角，则下列式子中值为常数的有（C≠）（）①sin(A+B)-sinC②cos(A+B)+cosC③tan(A+B)+tanC④cot(A+B)-cotCA.1B.2C.3D.4思路解析：利用三角形内角和定理A+B+C=π，结合诱导公式即可推导. A+B+C=π,∴A+B=π-C.∴sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,sin(A+B)-sinC=0.同理cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC,cos(A+B)+cosC=0;tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC,tan(A+B)+tanC=0;cot(A+B)=cot(π-C)==-cotC,cot(A+B)-cotC=2cotC.所以结果为常数的有3个.答案：C4.tan300°+sin450°的值是（）A.1+B.1-C.-1-D.-1+思路解析：利用诱导公式将角化到锐角范围，由特殊角的三角函数值即可求解.tan300°+sin450°=tan(360°-60°)+sin(360°+90°)=-tan60°+sin90°=1-.答案：B5.设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)，其中a、b、α、β都是非零实数，若f(2002)=-1，则f(2003)=______________.思路解析：用诱导公式寻求f(2002)和f(2003)的关系.f(2003)=asin(2003π+α)+bcos(2003π+β)=asin［π+(2002π+α)］+bcos［π+（2002π+β)］=-asin(2002π+α)-bcos(2002π+β)=-［asin(2002π+α)+bcos(2002π+β)］=-f(2002)=1.答案：16.已知sin(π-α)-cos(π+α)=(＜α＜π)，则sinα-cosα=________________.思路解析：将已知平方可求sinαcosα,然后利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα求解.易知sin(π-α)-cos(π+α)=sinα+cosα=.两边平方，得1+2sinαcosα=,∴2sinαcosα=. ＜α＜π,∴sinα＞0＞cosα.故有sinα-cosα=.答案：7.|cosα|=cos(π+α),则角α的集合为________________.思路解析：由绝对值的意义确定角α所在象限，进而写出范围.由已知得：|cosα|=-cosα，∴α为第二、三象限角或终边落在y轴上的角.∴2kπ+≤α≤2kπ+(k∈Z).答案：2kπ+≤α≤2kπ+,k∈Z8.已知sin(α+β)=1，求证：tan(2α+β)+tanβ=0.思路分析：由sin(α+β)=1出发得到α+β=2kπ+即α=2kπ+-β.将其代入被证式的左边，然后利用诱导公式进行化简，直到推得右边.证明： sin(α+β)=1,∴α+β=2kπ+(k∈Z).∴α=2kπ+-β(k∈Z).∴tan(2α+β)+tanβ=tan［2(2kπ+-β)+β］+tanβ=tan(4kπ+π-2β+β)+tanβ=tan(4kπ+π-β)+tanβ=tan(π-β)+tanβ=-tanβ+tanβ=0.∴tan(2α+β)+tanβ=0.得证.9.化简+sin(-θ).思路分析：由三角函数诱导公式，结合同角基本关系化简即可.解：+sin(-θ)===我综合我发展10.判断函数y=Asin(+)(A≠0)的奇偶性.思路分析：先化简，然后利用奇偶性定义作出判断.解：y=Asin(+)=Asin(6π++)=Asin(+)=Asin(π++)=-Asin(+)=-cos.∴f(-x)=-Acos(-)=-Acos=f(x).∴函数y=Asin(+)(A≠0)为偶函数.11.已知函数f(n)=sin(n∈Z)，求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102).思路分析：如果将n=1,2,3,4，…,102分别代入计算，显然比较复杂，若注意到f(n)的周期性，将会使运算大大简化.解：由诱导公式，知sin(π)=sin(+2π)=sin，∴f(n+12)=f(n),且f(1)+f(2)+f(3)+…+f(12)=0,102=12×8+6,∴f(1)+f(2)+f(3)+…+f(102)=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(6)=sin+sin+…+sin=2+.12．求函数y=lgsin(630°-2x)的最大值.思路分析：将sin(630°-2x)化简为-cos2x，然后利用对数函数单调性及余弦函数的有界性,求得y=lgsin(630°-2x)的最大值.解：sin(630°-2x)=sin(360°+180°+90°-2x)=sin(180°+90°-2x)=-sin(90°-2x)=-cos2x,∴y=lgsin(630°-2x)=lg(-cos2x).其中-cos2x＞0,∴cos2x＜0.又cos2x≥-1,∴当且仅当cos2x=-1时，ymax=lg1=0.13．已知tanα,是关于x的方程3x2-3kx+3k2-13=0的两实根，且3π＜α＜，求cos(3π+α)+sin(π+α)的值.思路分析：由题意知,即求-(cosα+sinα)的值，而由已知得关系式tan...
