学业分层测评(十九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．以A(1,2)，B(3,0)的中点为圆心，以为半径的圆的方程为________．【解析】AB中点为(2,1)，所以圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.【答案】(x－2)2＋(y－1)2＝52．点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是________．【解析】 (－2)2＋(－2)2＝8>4，∴P点在圆外．【答案】P在圆外3．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．【解析】由题意知圆C的圆心为(0,1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.【答案】x2＋(y－1)2＝14．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为________．【解析】已知圆的圆心为(－2,0)，它关于P(0,0)的对称点为(2,0)，所以关于P对称的圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.【答案】(x－2)2＋y2＝55．直线y＝ax＋1与圆x2＋y2－2x－3＝0的位置关系是__________.【导学号：60420079】【解析】 直线y＝ax＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x－1)2＋y2＝4的内部，故直线与圆相交．【答案】相交6．若过点A(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围为__________．【解析】圆的方程化为(x－a)2＋y2＝3－2a， 过点A(a，a)可作圆的两条切线，∴点A(a，a)在圆外，可得解得a<－3或1
0)．代入三点的坐标得解方程组，得所以经过A，B，C三点的圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.将D点坐标代入圆的标准方程的左边，得(－1－1)2＋(2－3)2＝5，所以点D在圆上，所以A，B，C，D四点在同一个圆上．10．如图222所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为6m，行车道总宽度BC为2m，侧墙EA，FD高为2m，弧顶高MN为5m.图222(1)建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；(2)为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．【解】(1)法一以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1m为单位长度建立直角坐标系．则有E(－3，0)，F(3，0)，M(0,3)．由于所求圆的圆心在y轴上，所以设圆的方程为(x－0)2＋(y－b)2＝r2， F(3，0)，M(0,3)都在圆上，∴解得b＝－3，r2＝36.所以圆的方程是x2＋(y＋3)2＝36.法二以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1m为单位长度建立直角坐标系．设所求圆的圆心为G，半径为r，则点G在y轴上，在Rt△GOE中，|OE|＝3，|GE|＝r，|OG|＝r－3，由勾股定理，r2＝(3)2＋(r－3)2，解得r＝6，则圆心G的坐标为(0，－3)，圆的方程是x2＋(y＋3)2＝36.(2)设限高为h，作CP⊥AD，交圆弧于点P，则|CP|＝h＋0.5.将点P的横坐标x＝代入圆的方程，得2＋(y＋3)2＝36，解得y＝2，或y＝－8(舍)．所以h＝|CP|－0.5＝(y＋|DF|)－0.5＝(2＋2)－0.5＝3.5(m)．即车辆的限制高度为3.5m.[能力提升]1．(2015·全国卷Ⅱ改编)已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原2点的距离为________．【解析】在坐标系中画出△ABC(如图)，利用两点间的距离公式可得|AB|＝|AC|＝|BC|＝2(也可以借助图形直接观察得出)，所以△ABC为等边三角形．设BC的中点为D，点E为外心，同时也是重心．所以|AE|＝|AD|＝，从而|OE|＝＝＝.【...
