高中数学 第一章 立体几何初步 1.6.2 垂直关系的性质 第一课时 直线与平面垂直的性质高效测评 北师大版必修2-北师大版高一必修2数学试题VIP免费

2016-2017学年高中数学第一章立体几何初步1.6.2垂直关系的性质第一课时直线与平面垂直的性质高效测评北师大版必修2一、选择题(每小题5分，共20分)1．若m、n表示直线，α表示平面，则下列推理中，正确的个数为()①⇒n⊥α；②⇒m∥n；③⇒m⊥n;④⇒n⊥α.A．1B．2C．3D．4解析：①②③正确，④中n与面α可能有：nα或n∥α或相交(包括n⊥α)．答案：C2．已知直线a、b与平面α、β、γ，能使α⊥β的条件是()A．a⊥β，β⊥γ，a⊂γB．α∩β＝a，b⊥a，b⊂βC．a∥β，α∥aD．a∥α，a⊥β解析：因为a∥α，所以过a作一平面γ∩α＝c，则a∥c，因为a⊥β，所以c⊥β，又c⊂α，所以α⊥β.答案：D3．PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是()A．PA⊥BCB．BC⊥平面PACC．AC⊥PBD．PC⊥BC解析：PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，A正确；又BC⊥AC，∴BC⊥面PAC，∴BC⊥PC，B、D均正确．答案：C4．四棱锥P－ABCD，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB＝AD，四边形ABCD是正方形，E是PD的中点，则AE与PC的关系是()A．垂直B．相交C．平行D．相交或平行解析：∵PA＝AD，E为PD的中点，∴AE⊥PD又PA⊥面ABCD.∴PA⊥CD，又∵CD⊥AD.∴CD⊥面PAD，∴CD⊥AE.又∵CD∩PD＝D，∴AE⊥面PCD.∴AE⊥PC.故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________________．(只填序号即可)①a和b垂直于正方体的同一个面②a和b在正方体两个相对的面内，且共面③a和b平行于同一条棱④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直解析：①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为公理4的应用．答案：①②③6．已知直线PG⊥平面α于G，直线EFα，且PF⊥EF于F，那么线段PE，PF，PG的大小关系是________．解析：由于PG⊥平面α于G，PF⊥EF，∴PG最短，PF＜PE，∴有PG＜PF＜PE.答案：PG＜PF＜PE三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E、F分别在A1D、AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.证明：如图所示，连接AB1、B1C、BD、B1D1.∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD.∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD，且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.∵BD1平面BDD1B1，∴BD1⊥AC.同理可证BD1⊥B1C，AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C，又EF⊥AC且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.8．斜边为AB的直角三角形ABC，过点A作PA⊥平面ABC.AE⊥PB，AF⊥PC，E、F分别为垂足，如图．(1)求证：EF⊥PB；(2)若直线l⊥平面AEF，求证：PB∥l.证明：(1)∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵△ABC为直角三角形，∴BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.又∵AF平面PAC，∴BC⊥AF.又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，∴AF⊥平面PBC.又PB平面PBC，∴AF⊥BP.又AE⊥PB，且AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF.又EF平面AEF，∴EF⊥PB.(2)由(1)知，PB⊥平面AEF，而l⊥平面AEF，∴PB∥l.☆☆☆9．(10分)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．解析：取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝＝3，于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝＝，即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为.