1.6三角函数模型的简单应用A级基础巩固一、选择题1．某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为()A．60B．70C．80D．90解析：因为T＝＝，所以f＝＝80.答案：C2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A．5B．6C．8D．10解析：由题图知，当sin＝－1时，函数取得最小值2，即3×(－1)＋k＝2，所以k＝5.因此，函数的最大值是3×1＋5＝8.故水深的最大值为8.答案：C3．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系．设秒针针尖的位置为P(x，y)，若初始位置为P0，当秒针针尖从P0(注：此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为()A．y＝sinB．y＝sinC．y＝sinD．y＝sin解析：由题意，可得函数的初相是，排除B、D.函数的最小正周期是60，所以T＝＝60，所以|ω|＝，因为秒针按顺时针转动，所以ω＝－，故选C.答案：C4．一种波的波形为函数y＝－sinx的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是()A．5B．6C．7D．8解析：函数y＝－sinx的周期T＝4且x＝3时y＝1取得最大值，因此t≥7.答案：C5．如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为()A．2πsB．πsC．0.5sD．1s解析：单摆来回摆动一次，即完成一个周期，所以T＝＝＝1s，即单摆来回摆动一次所需的时间为1s.答案：D二、填空题6．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(小时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．则一个能近似表示表中数据间对应关系的函数是________．解析：由表格知最大值为15，最小值为9，最小正周期为12，故解得A＝3，k＝12，ω＝.又t＝0时，y＝12，所以φ＝0.答案：y＝12＋3sint7．已知某种交变电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝5sin，t∈[0，＋∞)，则这种交变电流在0.5s内往复运动的次数是________________．解析：周期T＝s，所以频率为每秒50次，所以0.5秒内往复运动的次数为25.答案：258．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(A＞0，x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.解析：依题意知，a＝＝23，A＝＝5，所以y＝23＋5cos，当x＝10时，y＝23＋5cos＝20.5.答案：20.5三、解答题9．实验室某一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－2sin，t∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差．解：(1)f(8)＝10－2sin＝10－2sinπ＝10.故实验室这一天上午8时的温度为10℃.(2)因为0≤t<24，所以≤t＋<，所以－1≤sin≤1.当t＝2时，sin＝1；当t＝14时，sin＝－1.所以f(t)在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.10．确定方程sin＝lgx的实数解的个数．解：作函数y＝sin及y＝lgx的图象如图所示，由图可知，原方程的实数解的个数为7.B级能力提升1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象上一个最高点为点(2，3)，与这个最高点相邻的一个函数值为0的点是点(6，0)，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝3sinB．f(x)＝3sinC．f(x)＝3sinD．f(x)＝3sin解析：由题意知A＝3，T＝6－2＝4，所以T＝16，故T＝＝16，所以ω＝，所以f(x)＝3sin，因为最高点为(2，3)，所以3sin＝3，即sin＝1，又0＜φ＜π.所以φ＝，所以f(x)＝3sin.答案：C2．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低，为4千元，则f(x)＝________．解析：由题意得解得A＝2，B＝6.周期T＝2×(7－3)＝8，所以ω＝＝.所以f(x)＝2...
