课时提升作业(三十)等差数列及其前n项和(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·柳州模拟)在等差数列{an}中,2a4+a7=3,则数列{an}的前9项和等于()A.3B.6C.9D.12【解析】选C.设等差数列{an}公差为d,因为2a4+a7=3,所以2(a1+3d)+a1+6d=3,整理得a1+4d=1,即a5=1,所以S9==9a5=9.故选C.【加固训练】(2013·安徽高考)设Sn为等差数列{an}的前n项和,S8=4a3,a7=-2,则a9=()A.-6B.-4C.-2D.2【解析】选A.由S8=4a3⇒8a1+d=4×(a1+2d);由a7=-2⇒a1+6d=-2,联立解得a1=10,d=-2,所以a9=a1+8d=10-16=-6.2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=5,S11=22,则数列{an}的公差d为()A.-1B.-C.D.1【解析】选A.由S11===11a6=22,可知a6=2,所以d==-1,故选A.3.数列{an}的首项为3,{bn}为等差数列且bn=an+1-an(n∈N*).若b3=-2,b10=12,则a8=()A.0B.3C.8D.11【解析】选B.因为{bn}是等差数列,且b3=-2,b10=12,故公差d==2.于是b1=-6,且bn=2n-8(n∈N*),即an+1-an=2n-8.所以a8=a7+6=a6+4+6=a5+2+4+6=…=a1+(-6)+(-4)+(-2)+0+2+4+6=3.4.(2015·吉林模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn(n=1,2,3,…),当首项a1和公差d变化时,若a5+a8+a11是一个定值,则下列各数中为定值的是()A.S17B.S18C.S15D.S16【解析】选C.由等差数列的性质得:a5+a11=2a8,所以a5+a8+a11为定值,即a8为定值.又因为S15===15a8,所以S15为定值.故选C.【加固训练】已知等差数列{an}中,|a3|=|a9|,公差d<0,Sn是数列{an}的前n项和,则()A.S5>S6B.S50,a9<0,且a3+a9=0,所以a6=0,a5>0,a7<0,所以S5=S6.5.数列{an}满足a1=1,an+1=r·an+r(n∈N*,r∈R且r≠0),则“r=1”是“数列{an}为等差数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.当r=1时,易知数列{an}为等差数列;由题意易知a2=2r,a3=2r2+r,当数列{an}是等差数列时,a2-a1=a3-a2,即2r-1=2r2-r,解得r=或r=1,故“r=1”是“数列{an}为等差数列”的充分不必要条件.二、填空题(每小题5分,共15分)6.在等差数列{an}中,若共有n项,且前四项之和为21,后四项之和为67,前n项和Sn=286,则n=.【解析】依题意知a1+a2+a3+a4=21,an+an-1+an-2+an-3=67.由等差数列的性质知a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3,所以4(a1+an)=88,所以a1+an=22.又Sn=,即286=,所以n=26.答案:267.已知数列{an}满足a1=1,an>0,-=1(n∈N*),那么使an<5成立的n的最大值为.【解析】因为-=1,所以数列{}是以=1为首项,1为公差的等差数列,所以=1+(n-1)=n.又an>0,所以an=.因为an<5,所以<5,即n<25,故n的最大值为24.答案:24【加固训练】在数列{an}中,a1=-18,an+1=an+3(n∈N*),则数列{an}的前n项和Sn的最小值为.【解析】由an+1=an+3知{an}是等差数列,首项为-18,公差为3,所以an=-21+3n.当n=7时,an=0,当n≤6时,an<0,所以当n=6或7时,Sn有最小值-63.答案:-638.若数列{an}满足-=d(n∈N*,d为常数),则称数列{an}为“调和数列”.已知正项数列{}为“调和数列”,且x1+x2+…+x20=200,则(1)x5+x16=,(2)x3x18的最大值是.【解析】因为数列{}为“调和数列”,所以xn+1-xn=d(n∈N*,d为常数),即数列{xn}为等差数列,由x1+x2+…+x20=200得=200,即x1+x20=20,(1)由等差数列性质知x5+x16=x1+x20=20.(2)由于x3+x18=x1+x20=20,易知x3,x18都为正数且相等时,x3x18取得最大值,所以x3x18≤()2=100,即x3x18的最大值为100.答案:(1)20(2)100三、解答题9.(10分)已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数,且a1=-2,a2=2,S3=6.(1)求Sn.(2)证明:数列{an}是等差数列.【解析】(1)设Sn=An2+Bn+C(A≠0),则解得A=2,B=-4,C=0,故Sn=2n2-4n.(2)当n=1时,a1=S1=-2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-4n-[2(n-1)2-4(n-1)]=4n-6,a1=-2也满足.故an=4n-6(n∈N*).因为an+1-an=4,所以数列{an}成等差数列.【加固训练】1.已知数列{an}是一个等差数列,且a2=1,a5=-5.(1)求{an}的通项公式.(2)设cn=,bn=,求T=log2b1+log2b2+log2b3+…+log2bn的值.【解析】(1)设{an}的公差为d,由已知条件解得a1=3,d=-2.所以an=a1+(n-1)d=-2n+5.(2)因为an=-2n+5,所以cn===n,所以bn==2n,所以T=log2b...
