课后练习1.育才小学40名学生参加一次数学竞赛，用15分记分制（即分数为0，1，2，…，15）。全班总分为209分，且相同分数的学生不超过5人。试说明得分超过12分的学生至多有9人。2.今有一角纸币、二角纸币、五角纸币各1张，一元币4张，五元币2张，用这些纸币任意付款，一共可以付出多少种不同数额的款项？3.求在8和98之间（不包括8和98），分母为3的所有最简分数的和。4.如右图，四边形ABCD的面积为3，E，F为边AB的三等分点，M，N是CD边上的三等分点。求四边形EFNM的面积。5.直线上分布着1998个点，我们标出以这些点为端点的一切可能线段的中点。问：至少可以得到多少个互不重合的中点？6.假定100个人中的每一个人都知道一个消息，而且这100个消息都不相同。为了使所有的人都知道一切消息，他们一共至少要打多少个电话？7.有4个互不相等的自然数，将它们两两相加，可以得到6个不同的和，其中较小的4个和是64，66，68，70。求这4个数。8.有五个砝码，其中任何四个砝码都可以分成重量相等的两组。问：这五个砝码的重量相等吗？为什么？1课后练习答案1.若得分超过12分的学生至少有10人，则全班的总分至少有5×（12+13）+5×（0+1+2+3+4+5）=210（分），大于条件209分，产生了矛盾，故得分超过12分的学生至多有9人。2.119种。解：从最低币值1角到最高币值14元8角，共148个不同的币值。再从中剔除那些不能由这些纸币构成的币值。经计算，应该剔除的币值为（i+0.4）元（i=0，1，2，…，14）及（j+0.9）元（j=1，2，3，…，13），一共29种币值。所以，一共可以付出148-29=119（种）不同的币值。3.9540。=2×（8+9+…+97）+（97-8+1）=9540。4.1。解：先考虑ABCD是长方形的特殊情况，显然此时EFNM的面积是1。下面就一般情况求解。连结AC，AM，FM，CF，则25.3993个。解：为了使计算互不重复，我们取距离最远的两点A，B。先计算以A为左端点的所有线段，除B外有1996条，这些线段的中点有1996个，它们互不重合，且到点A的距离小于AB长度的一半。同样，以B为右端点的所有线段，除A外有1996条，这些线段的中点有1996个，它们互不重合，且到点A的距离小于AB长度的一半。这两类中点不会重合，加上AB的中点共有1996+1996+1=3993（个），即互不重合的中点不少于3993个。另一方面，当这1998个点中每两个相邻点的间隔都相等时，不重合的中点数恰为3993。这说明，互不重合的中点数至少为3993个。6.198个。解：考虑一种特殊的通话过程：先由99人每人打一个电话给A，A再给99人每人打一个电话，这样一共打了198个电话，而且每人都知道了所有的消息。下面我们说明这是次数最少的。考虑一种能使所有人知道一切消息的通话过程中的关键性的一次通话，这次通话后，有一个接话人A知道了所有的消息，而在此之前还没有人知道所有的消息。除了A以外的99人每人在这个关键性的通话前，必须打出电话一次，否则A不可能知道所有的消息；又这99人每人在这个关键性的通话后，又至少收到一个电话，否则它们不可能知道所有的消息。7.30，34，36，38或31，33，35，39。解：设4个数为a，b，c，d，且a＜b＜c＜d，则6个和为a+b，a+c，a+d，b+c，b+d，c+d。于是有a+b＜a+c＜a+d＜b+d＜c+d和a+b＜a+c＜b+c＜b+d＜c+d。3分别解这两个方程组，得8.相等。解：设这五个砝码的重量依次为a≤b≤c≤d≤e。去掉e，则有a+d=b+c；①去掉d，则有a+e=b+c。②比较①②，得d=e。去掉a，则有b+e=c+b；③去掉b，则有a+e=c+d。④比较③④，得a=b。将a=b代入①得c=d，将d=e代入④得b=c。所以e=b=c=d=e。4
