高二数学算数平均数和几何平均数通用版【本讲主要内容】算数平均数和几何平均数均值不等式及其应用【知识掌握】【知识点精析】1.均值不等式是不等式的主要内容之一,也是用来证明不等式、求函数最值及解决实际问题的重要方法。常用的数学思想有:等价转化的思想、函数思想、分类讨论及数学模型思想。2.两个基本定理:定理1:a,bR,a2+b22ab,当且仅当a=b时取“=”号定理2:a,bR+,,当且仅当a=b时取“=”号说明:(1)定理2实际是定理1的一个推论,但二者成立的条件不同,同学们必须高度重视。(2)a,bR+,称为正数a,b的算术平均数,称为a,b的几何平均数。定理2可叙述为:两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数。(3)a,bR+,可看作正数a,b的等差中项,可看作正数a,b的等比中项。定理2又可叙述为:两个正数的等差中项大于等于它们的等比中项。(4)以上两个不等式的结构是:左侧为和,右侧为积,因此它们的功能在于实现“和”与“积”的互化。在证明不等式时,经常用此法放缩,并为求函数的最值提供了重要依据。3.几个常用结论:(1)a,bR,ab(2)a,bR+,ab(3)a,bR,(4)x>0,x+2,x<0,x+-2,(5)ab>0,(6)a,bR+,(a+b)(+)4(7)a,bR+,(=,叫调和平均数)用心爱心专心4.利用均值不等式求最值【解题方法指导】例1.下列函数中,最小值为4的函数是()A.B.C.D.解析:A选项中缺少x>0的条件,B中运用均值不等式时“=”不成立,D中不满足大于0的条件。,故选C评析:利用均值不等式求最值,一定要注意检验是否满足三个条件:一正二定三相等,缺一不可。例2.求下列函数的最值(1)(2)(3)分析:求和的最小值,首先考虑积是否为定值,如果不是,能否配凑积为定值。解析:(1)a>2,∴当且仅当时,即a=3时,取“=”,此时(2)x>0,当且仅当时,即x=1时取“=”,此时评析:形如的函数,分子分母同除以x,即可用均值不等式求最值。用心爱心专心(3)分析:将分子配凑成关于x+1的式子解析:法1:当且仅当时,即x=1时取“=”,此时法2:令x+1=t,则x=t-1当且仅当t=2,即x=1时取“=”,此时评析:形如的函数最值问题,均可用配凑因式拆分或换元的方法,分离常数,再用均值不等式求解。【考点突破】【考点指要】算术平均数与几何平均数在每年的高考试题中几乎都有所体现,是高考考查的热点内容之一,在基本不等式的使用条件上常常设置一些问题,应谨慎处理。其主要应用是求最值问题,常常是在高考选择题,填空题中直接考查,在解答题中与其它知识综合考查。分值大约在5分至7分,考查通常分为三个层次:层次一:利用均值不等式进行证明;层次二:利用均值不等式求最值;层次三:均值不等式与函数、三角函数、数列、几何、导数及实际应用问题等综合考查。【典型例题分析】例3.(05年全国卷)当时,函数最小值为()A.2B.2C.4D.4解析:cotx>0,4tanx>0,f(x),当且仅当cotx=4tanx即tanx=时等号成立用心爱心专心选C例4.(06年重庆)若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为()A.-1B.+1C.2+2D.2—2解析:2a+b+c=(a+b)+(a+c),欲用均值不等式,需考查积(a+b)(a+c)=是否为定值,而a(a+b+c)+bc==4-2(a+b)(a+c)=4-2评析:由所求去分析,探索和已知条件的联系是解题的关键和难点,同时体现了求和的最小值,要有意识去配凑积为定值的思想。例5.(06年上海卷)三个同学对问题“关于x的不等式在[1,12]恒成立,求实数a的取值范围”提出各自的解题思路。曱说:“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”。乙说:“把不等式变形为左边含变量x的函数,右边仅含常数,求函数的最值”。丙说:“把不等式两边看成关于x的函数,作出函数的图像”。参考上述解题思路,你认为他们所讨论的问题的正确结论,即a的取值范围是_______解析:关于恒成立问题,分离参数法是最基本最常用的方法之一,可优先考虑,即乙说的方法。在[1,12]上恒成立,当且仅当时,即x=5时取等号,此时取最小值为0评析:af(x)恒成立a[f(x)]min例6.(2004年上海理)某单位用本料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为x,y(单位:m...