高二数学算数平均数和几何平均数通用版知识精讲VIP专享VIP免费

高二数学算数平均数和几何平均数通用版【本讲主要内容】算数平均数和几何平均数均值不等式及其应用【知识掌握】【知识点精析】1.均值不等式是不等式的主要内容之一，也是用来证明不等式、求函数最值及解决实际问题的重要方法。常用的数学思想有：等价转化的思想、函数思想、分类讨论及数学模型思想。2.两个基本定理：定理1：a，bR，a2+b22ab，当且仅当a＝b时取“＝”号定理2：a，bR+，，当且仅当a＝b时取“＝”号说明：（1）定理2实际是定理1的一个推论，但二者成立的条件不同，同学们必须高度重视。（2）a，bR+，称为正数a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数。定理2可叙述为：两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数。（3）a，bR+，可看作正数a，b的等差中项，可看作正数a，b的等比中项。定理2又可叙述为：两个正数的等差中项大于等于它们的等比中项。（4）以上两个不等式的结构是：左侧为和，右侧为积，因此它们的功能在于实现“和”与“积”的互化。在证明不等式时，经常用此法放缩，并为求函数的最值提供了重要依据。3.几个常用结论：（1）a，bR，ab（2）a，bR+，ab（3）a，bR，（4）x>0，x+2，x<0，x+－2，（5）ab>0，（6）a，bR+，（a+b）（+）4（7）a，bR+，（＝，叫调和平均数）用心爱心专心4.利用均值不等式求最值【解题方法指导】例1.下列函数中，最小值为4的函数是（）A.B.C.D.解析：A选项中缺少x>0的条件，B中运用均值不等式时“＝”不成立，D中不满足大于0的条件。，故选C评析：利用均值不等式求最值，一定要注意检验是否满足三个条件：一正二定三相等，缺一不可。例2.求下列函数的最值（1）（2）（3）分析：求和的最小值，首先考虑积是否为定值，如果不是，能否配凑积为定值。解析：（1）a>2，∴当且仅当时，即a＝3时，取“＝”，此时（2）x>0，当且仅当时，即x＝1时取“＝”，此时评析：形如的函数，分子分母同除以x，即可用均值不等式求最值。用心爱心专心（3）分析：将分子配凑成关于x+1的式子解析：法1：当且仅当时，即x＝1时取“＝”，此时法2：令x+1＝t，则x＝t－1当且仅当t＝2，即x＝1时取“＝”，此时评析：形如的函数最值问题，均可用配凑因式拆分或换元的方法，分离常数，再用均值不等式求解。【考点突破】【考点指要】算术平均数与几何平均数在每年的高考试题中几乎都有所体现，是高考考查的热点内容之一，在基本不等式的使用条件上常常设置一些问题，应谨慎处理。其主要应用是求最值问题，常常是在高考选择题，填空题中直接考查，在解答题中与其它知识综合考查。分值大约在5分至7分，考查通常分为三个层次：层次一：利用均值不等式进行证明；层次二：利用均值不等式求最值；层次三：均值不等式与函数、三角函数、数列、几何、导数及实际应用问题等综合考查。【典型例题分析】例3.（05年全国卷）当时，函数最小值为（）A.2B.2C.4D.4解析：cotx>0，4tanx>0，f（x），当且仅当cotx＝4tanx即tanx＝时等号成立用心爱心专心选C例4.（06年重庆）若a，b，c>0且a（a+b+c）+bc＝4－2，则2a+b+c的最小值为（）A.－1B.+1C.2+2D.2—2解析：2a+b+c＝（a+b）+（a+c），欲用均值不等式，需考查积（a+b）（a+c）＝是否为定值，而a（a+b+c）+bc＝＝4－2（a+b）（a+c）＝4－2评析：由所求去分析，探索和已知条件的联系是解题的关键和难点，同时体现了求和的最小值，要有意识去配凑积为定值的思想。例5.（06年上海卷）三个同学对问题“关于x的不等式在[1，12]恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路。曱说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”。乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”。丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数的图像”。参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是_______解析：关于恒成立问题，分离参数法是最基本最常用的方法之一，可优先考虑，即乙说的方法。在［1，12］上恒成立，当且仅当时，即x＝5时取等号，此时取最小值为0评析：af（x）恒成立a[f（x）]min例6.(2004年上海理)某单位用本料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m...