四川省米易中学校高三数学竞赛代数资料三一、基础知识1、奇数偶数；2、，则与具有相同的奇偶性；3、奇数个奇数之和仍为奇数；4、任意个奇数之积仍为奇数；5、相邻二整数之和（积）必为奇（偶）数；6、奇数，偶数；7、奇数，偶数；8、正整数为平方数的正因数个数为奇数正整数为非平方数的正因数个数为偶数；9、整数等差数列中，奇数项与偶数项的奇偶性分别相同；10、任何一个偶数，为奇数，为正整数。二、例题选讲（一）、证明满足条件的数字对象不存在例1、在方格纸上填上1，9，8，6，如图所示，是否能在余下的方格内各填上一数，使得方格纸上的每行每列都成等差数列？（1）所填数为整数；（2）所填数为实数。例2、有只茶杯，开始时杯口朝上，把某杯任意翻转，规定每翻转（）只，算一次翻动，翻动的茶杯允许再翻，证明：当为偶数，为奇数时，无论翻动多少次，都不可能使杯口全朝下。例3、设是整系数多项式，若是奇数，求证：没有整数解。例4、平面上给定一个凸2002边形，设是一切以该凸2002边形的顶点为顶点的三角形的集合，其内部一点不在中的任意三角形的边上，求证：中包含点的三角形总数必为偶数。例5、能否把1，1，2，2，3，3，…，2002，2002这些数字排成一行，使得两个1之间夹一个数，两个2之间夹2个数，两个3之间夹3个数，…，两个2002之间夹2002个数？证明你的结论。（2）证明满足条件的数字对象至少存在一个例6、在的正方形表格中，关于连结左上角与右下角的主对角线91681对称地放置棋子，同时每水平行上放5枚棋子，正方形每一小方格规定放置不多于1枚棋子，求证：在主对角线的棋子至少有一枚。例7、将的三个顶点分别标上1，2，3。在内取若干个点，将它剖分成若干个小三角形。每两个小三角形或者有一个公共点，或者有一条公共边，或者完全无公共点，将每个小三角形的顶点也分别标上1，2，3。求证：不管怎样标记，都有一个三角形，其三个顶点的记号全不相同。例8、设有一个平面封闭折线，它的所有顶点都是整点，且，求证：是偶数。（3）、其他例9、教室里有50盏编号为“1，2，3，…，50”的灯，完全都是关上的，50名学生依次进来，第个学生把编号为的倍数的电灯上的拉线开关拉一下，问：最后教室里亮着的灯的编号有哪些？例10、有个数，它们中的每个数要么是1，要么是，如果，求证：是4的倍数。例11、一个的棋盘被18张骨牌（的矩形）完全覆盖，证明：一定存在一条棋盘格线，沿着这条格线剪下去，不会剪到任何一张骨牌。例12、设是异于2、5、13的任一整数，求证：在集合中可以找到两个不同的元素使得不是完全平方数。例13、设且有性质：（1）对任何，恒有；（2）求证：中奇数的个数是4的倍数，且中所有数字的平方和为一定数。2
