课时跟踪检测（一）回归分析1．已知两个有线性相关关系的变量的相关系数为r，则r取下列何值时，两个变量的线性相关关系最强()A．－0.91B．0.25C．0.6D．0.86解析：选A在四个r值中，|－0.91|最接近1，故此时，两个变量的线性相关关系最强．2．根据如下样本数据x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回归方程为y＝bx＋a，则()A．a>0，b>0B．a>0，b<0C．a<0，b>0D．a<0，b<0解析：选B由表中数据画出散点图，如图．由散点图可知b<0，a>0，选B.3.设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是()A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(，)C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg解析：选D由于回归直线的斜率为正值，故y与x具有正的线性相关关系，选项A中的结论正确；回归直线过样本点的中心，选项B中的结论正确；根据回归直线斜率的意义易知选项C中的结论正确；由于回归分析得出的是估计值，故选项D中的结论不正确．4．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：收入x(万元)8.28.610.011.311.9支出y(万元)6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝0.76，a＝y－bx.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为()A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元解析：选B由题意知，＝＝10，＝＝8，∴a＝8－0.76×10＝0.4，∴当x＝15时，y＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．5．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．1解析：根据样本相关系数的定义可知，当所有样本点都在直线上时，相关系数为1.答案：16．某咖啡厅为了了解热饮的销售量y(个)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了对照表：气温(℃)181310－1销售量(个)24343864由表中数据，得线性回归方程y＝－2x＋a.当气温为－4℃时，预测销售量约为________．解析：∵＝(18＋13＋10－1)＝10，＝(24＋34＋38＋64)＝40，∴40＝－2×10＋a，∴a＝60，当x＝－4时，y＝－2×(－4)＋60＝68.答案：687．某种产品的广告费用支出x与销售额y之间有如下的对应数据(单位：万元).x(万元)24568y(万元)3040605070(1)画出散点图；(2)求回归方程；(3)据此估计广告费用支出为10万元时，销售额y的值．解：(1)作出散点图如下图．(2)由散点图可知，样本点近似地分布在一条直线附近，因此，x，y之间具有线性相关关系．由表中的数据可知，x＝×(2＋4＋5＋6＋8)＝5，y＝×(30＋40＋60＋50＋70)＝50.所以b＝＝6.5，a＝y－bx＝50－6.5×5＝17.5，因此线性回归方程为y＝17.5＋6.5x.(3)x＝10时，y＝17.5＋10×6.5＝82.5(万元)．即当支出广告费用10万元时，销售额为82.5万元．8．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元)88.28.48.68.89销量y(件)908483807568(1)求回归直线方程y＝bx＋a，其中b＝－20，a＝－b；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解：(1)＝(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，＝(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，从而a＝＋20＝80＋20×8.5＝250,2故y＝－20x＋250.(2)由题意知，工厂获得利润z＝(x－4)y＝－20x2＋330x－1000＝－202＋361.25，所以当x＝＝8.25时，zmax＝361.25(元)．即当该产品的单价定为8.25元时，工厂获得最大利润．9．在钢铁碳含量对于电阻的效应研究中，得到如下数据表：碳含量x(%)0.100.300.400.550.700.800.9520℃时电阻(Ω)1518192122.623.626求y与x的线性回归方程，并检验回归方程中的显著性．解：由已知数据得x＝×i≈0.543，y＝×145.2≈20.74，＝2.595，＝3094.72，iyi＝85.45.∴b≈≈12.46，a＝20.74－12.46×0.543≈13.97.线性回归方程为y＝13.97＋12.46x.下面利用相关系数检验是否显著．iyi－7xy＝85.45－7×0.543×20.74≈6.62，－7x2＝2.595－7×(0.543)2≈0.531，－7y2＝3094.72－7×(20.74)2＝83.687.∴r＝≈0.993.由于r接近于1，故钢铁碳含量对电阻的效应线性相关关系显著．34
