突破2利用导数证明问题及讨论零点个数1.(2018全国3,文21)已知函数f(x)=ax2+x-1ex.(1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)证明:当a≥1时,f(x)+e≥0.2.(2018河北保定一模,21改编)已知函数f(x)=x+ax.设函数g(x)=lnx+1.证明:当x∈(0,+∞)且a>0时,f(x)>g(x).3.已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,求a的取值范围.4.(2018安徽芜湖期末,21改编)已知函数f(x)=x3-alnx(a∈R).若函数y=f(x)在区间(1,e]上存在两个不同零点,求实数a的取值范围.5.设函数f(x)=e2x-alnx.(1)讨论f(x)的导函数f'(x)零点的个数;(2)证明:当a>0时,f(x)≥2a+aln2a.6.(2018河北衡水中学押题三,21)已知函数f(x)=ex-x2+a,x∈R,曲线y=f(x)的图像在点(0,f(0))处的切线方程为y=bx.(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)当x∈R时,求证:f(x)≥-x2+x;(3)若f(x)>kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立,求实数k的取值范围.参考答案突破2利用导数证明问题及讨论零点个数1.(1)解f'(x)=-ax2+(2a-1)x+2ex,f'(0)=2.因此曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程是2x-y-1=0.(2)证明当a≥1时,f(x)+e≥(x2+x-1+ex+1)e-x.令g(x)=x2+x-1+ex+1,则g'(x)=2x+1+ex+1.当x<-1时,g'(x)<0,g(x)递减;当x>-1时,g'(x)>0,g(x)递增;所以g(x)≥g(-1)=0.因此f(x)+e≥0.2.证明令h(x)=f(x)-g(x)=x+ax-lnx-1(x>0),h'(x)=1-ax2-1x=x2-x-ax2,设p(x)=x2-x-a=0,函数p(x)的图像的对称轴为x=12.∵p(1)=1-1-a=-a<0,设p(x)=0的正根为x0,∴x0>1,由对称性知,p(x)=0的另一根小于0,且x02-x0-a=0,h(x)在(0,x0)上是减少的,在(x0,+∞)上是增加的,h(x)min=h(x0)=x0+ax0-lnx0-1=x0+x02-x0x0-lnx0-1=2x0-lnx0-2.令F(x)=2x-lnx-2(x>1),F'(x)=2-1x=2x-1x>0恒成立,所以F(x)在(1,+∞)上是增加的.∵F(1)=2-0-2=0,∴F(x)>0,即h(x)min>0,所以,当x∈(0,+∞)时,f(x)>g(x).3.解法1函数f(x)的定义域为R,当a=0时,f(x)=-3x2+1,有两个零点±❑√33,原函数草图∴a=0不合题意;当a>0,x→-∞时,f(x)→-∞,f(0)=1,f(x)存在小于0的零点x0,不合题意;当a<0时,f'(x)=3ax2-6x,由f'(x)=3ax2-6x=0,得x1=0,x2=2a<0,∴在区间(-∞,2a)内f'(x)<0;在区间(2a,0)内f'(x)>0;在区间(0,+∞)内f'(x)<0.∴f(x)在区间(-∞,2a)内是减少的,在区间(2a,0)内是增加的,在区间(0,+∞)内是减少的.∴若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0⇔f(x)min=f(2a)>0⇔8a2-12a2+1>0⇔4a2<1⇔a2>4.∵a<0,∴a<-2.解法2曲线y=ax3与曲线y=3x2-1仅在y轴右侧有一个公共点,当a≥0时,由图像知不符合题意;当a<0时,设曲线y=ax3与曲线y=3x2-1相切于点(x0,y0),则{ax03=3x02-1,3ax02=6x0,得a=-2,由图像知a<-2时符合题意.解法3分离成a=-(1x)3+3(1x)=-t3+3t,令y=a,g(t)=-t3+3t,g'(t)=-3t2+3=3(1-t2),当t∈(-1,1)时,g'(t)>0,当t>1或t<-1时,g'(x)<0.所以g(t)在(-∞,-1)递减,在区间(-1,1)递增,在(1,+∞)递减,所以当t=-1时,g(t)min=-2,由g(t)=-t3+3t的图像可知,t=1时,g(t)max=2.x→+∞时,g(t)→+∞,当a<-2时,直线y=a与g(t)=-t3+3t的图像只有一个交点,交点在第四象限,所以满足题意.4.解由f(x)=0,得a=x3lnx在区间(1,e]上有两个不同实数解,即函数y=a的图像与函数g(x)=x3lnx的图像有两个不同的交点.因为g'(x)=x2(3lnx-1)(lnx)2.令g'(x)=0得x=3√e,所以当x∈(1,3√e)时,g'(x)<0,函数在(1,3√e)上递减,当x∈(3√e,e]时,g'(x)>0,函数在(3√e,e]上递增;则g(x)min=g(3√e)=3e,而g(e127)=e327lne127=27e19>27,且g(e)=e3<27,要使函数y=a的图像与函数g(x)=x3lnx的图像有两个不同的交点,∴a的取值范围为(3e,e3].5.(1)解f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2e2x-ax(x>0).当a≤0时,f'(x)>0,f'(x)没有零点,当a>0时,因为e2x递增,-ax递增,所以f'(x)在(0,+∞)递增.又f'(a)>0,当b满足0
0时,f'(x)存在唯一零点.(2)证明由(1),可设f'(x)在(0,+∞)的唯一零点为x0,当x∈(0,x0)时,f'(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0.故f(x)在(0,x0)递减,在(x0,+∞)递增,所以当x=x0时,f(x)取得最小值,最小值为f(x0).由于2e2x0-ax0=0,所以f(x0)=a2x0+2ax0+aln2a≥2a+aln2a.故当a>0时,f(x)≥2a+aln2a.6.(1)解根据题意,得f'(x)=ex-2x,则f'(0)=1=b.由切线方程可得切点坐标为(0,0),将其代入y=f(x),得a=-1,故f(x)=ex-x2-1.(2)证明令g(x)=f(x)+x2-x=ex-x-1.由g'(x)=ex-1=0,得x=0,当x∈(-∞,0),g'(x)<0,y=g(x)递减;当x∈(0,+∞),g'(x)>0,y=g(x)递增.所以g(x)min=g(0)=0,所以f(x)≥-x2+x.(3)解f(x)>kx对任意的x∈(0,+∞)恒成立等价于f(x)x>k对任意的x∈(0,+∞)恒成立.令φ(x)=f(x)x,x>0,得φ'(x)=xf'(x)-f(x)x2=x(ex-2x)-(ex-x2-1)x2=(x-1)(ex-x-1)x2.由(2)可知,当x∈(0,+∞)时,ex-x-1>0恒成立,令φ'(x)>0,得x>1;令φ'(x)<0,得0
