专题突破练(5)立体几何的综合问题一、选择题1．已知直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a∥b”是“α∥β”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件答案D解析“a∥b”不能得出“α∥β”，反之由“α∥β”也得不出“a∥b”．故选D.2.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，A1A＝AB＝2，BC＝1，AC＝，若规定正视方向垂直平面ACC1A1，则此三棱柱的侧视图的面积为()A.B．2C．4D．2答案A解析在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝5，∴AB⊥BC.作BD⊥AC于D，则BD为侧视图的宽，且BD＝＝，∴侧视图的面积为S＝2×＝.3．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为()A．3B．4C．5D．6答案C解析如图，既与AB共面也与CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1，共5条．4．在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是()A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′与平面A′BD所成的角为30°D．四面体A′BCD的体积为答案B解析 AB＝AD＝1，BD＝，∴AB⊥AD.∴A′B⊥A′D. 平面A′BD⊥平面BCD，CD⊥BD，∴CD⊥平面A′BD，∴CD⊥A′B，∴A′B⊥平面A′CD，∴A′B⊥A′C，即∠BA′C＝90°.5.[2016·云南师大附中月考]《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AP＝AC＝1，过A点分别作AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F，连接EF.当△AEF的面积最大时，tan∠BPC的值是()A.B.C.D.答案B解析因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又AB⊥BC，AB∩PA＝A，所以BC⊥平面PAB，则BC⊥AE，又PB⊥AE，则AE⊥平面PBC，所以AE⊥EF，且AE⊥PC，又AF⊥PC，所以PC⊥平面AEF，所以△AEF，△PEF均为直角三角形，因为PA＝AC＝1，且PA⊥AC，所以AF＝PF＝，而S△AEF＝AE·EF≤(AE2＋EF2)＝AF2＝，当且仅当AE＝EF时等号成立，所以当AE＝EF＝时，△AEF的面积最大，此时tan∠BPC＝＝＝，故选B.6．如图所示，已知在多面体ABC－DEFG中，AB，AC，AD两两垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为()A．2B．4C．6D．8答案B解析如图所示，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半，于是所求几何体的体积为V＝×23＝4.7．设A，B，C，D是半径为2的球面上的四点，且满足AB⊥AC，AD⊥AC，AB⊥AD，则S△ABC＋S△ABD＋S△ACD的最大值是()A．6B．7C．8D．9答案C解析由题意知42＝AB2＋AC2＋AD2，S△ABC＋S△ACD＋S△ABD＝(AB·AC＋AC·AD＋AD·AB)≤＋＝(AB2＋AC2＋AD2)＝8.8．已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在它的所有内接圆柱中，表面积的最大值是()A．22πR2B.πR2C.πR2D.πR2答案B解析如图所示，为组合体的轴截面，记BO1的长度为x，由相似三角形的比例关系，得＝，则PO1＝3x，圆柱的高为3R－3x，所以圆柱的表面积为S＝2πx2＋2πx·(3R－3x)＝－4πx2＋6πRx，则当x＝R时，S取最大值，Smax＝πR2.9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC边的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足MQ＝λMN的实数λ的值有()A．0个B．1个C．2个D．3个答案C解析本题可以转化为在MN上找点Q使OQ綊PD1，可知只有Q点与M，N重合时满足条件，所以选C.10．[2016·河北唐山模拟]四棱锥M－ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，若|MA|＋|MB|＝10，则三棱锥A－BCM的体积的最大值是()A．16B．20C．24D．28答案C解析 三棱锥A－BCM体积＝三棱锥M－ABC的体积，又正方形ABCD的边长为6，S△ABC＝×6×6＝18，又空间一动点M满足|MA|＋|MB|＝10，M点的轨迹是椭球，当|MA|＝|MB|时，M点到AB距离最大，h＝＝4，∴三棱锥M－ABC的体积的最大值为V＝S△ABCh＝×18×4＝24，∴三棱锥A－BCM体积的最大值为24，故答案为C.11．[2016·河北衡水模拟]在一个棱长为4的正方体内，最多能放入的直径为1的球的个数()A．64B．66C．68D．70答案B解析根据球体的特点，最多应该是放5层，第一层能放16个；第2层放在每4个小球中间的...
