高考数学复习点拨 立体几何重要题型及求解方法VIP免费

立体几何重要题型及求解方法1．空间几何体的画法例1用斜二测法画一个水平放置的平面图形直观图为图1的一个正方形，则原来的图形是（）解析:按斜二测法作图法则，对四个选项逐一验证．（A）正确．评析：本题是已知直观图，探求原平面图形，考查逆向思维能力．2．表面积的计算例2一个四面体的所有的棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）Ａ．3πＢ．4πＣ．33πＤ．6π解法一：如图2，设四面体为ABCD，其棱长均为2，O为其外接球的球心，球半径为RO，为A在面BCD上的射影，M为CD的中点，则32BM，32BC，2233BOBM，2223AOABBO，由22222()OBBOOOBOAOAO，得222233RR，解得32R．24π3πSR球面∴，故选（Ａ）．解法二：注意到选项4π的特殊性，此时球的半径1R．而当1R≥时，如图2又知AOB为钝角，则2ABR，矛盾，故1R，从而排除（Ｂ），（Ｃ），（Ｄ），故选（Ａ）．解法三：注意到2的特殊性，构造棱长为1的正方体，如图3（其实不必画图），则11ACBD是棱长为2的正四面体，正方体的外接球也是正四面体的用心爱心专心外接球，此时球的直径为3，故3πS球面，选（Ａ）．探究：解法一是运用方程的思想求球的半径，小题大做．解法二观察题目特点，利用排除法是最优解法．解法三是割补法，将正四面体补成一个正方体，这种割补思想解决问题值得我们学习．3．体积的计算由于体积的计算既需要同学们扎实的基础知识，又要用到一些重要的思想方法，因此也是高考的重要题型，其中又以锥体的体积和不规则几何体的体积计算为主，因为锥体的体积计算往往需要转换顶点和底面，而不规则几何体的体积计算则常常需要用到分割或补形的方法．例3如图4，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且ADE△，BCF△均为正三角形，EFAB∥，2EF，则该多面体的体积为（）Ａ．23Ｂ．33Ｃ．43Ｄ．32分析：本题中的多面体是一个不规则的几何体，因此可考虑对其进行分割或补形．解法一：如图5，分别过AB，作EF的垂线，垂足分别为GH，，连结DGCH，，容易求得12EGHF，32AGGDBHHC，24AGDBHCSS△△∴，23EADGFBHCAGDBHCVVVV∴．解法二：如图6，将该多面体补成一个斜三棱柱（侧棱与底面不垂直的棱柱）ADEMNF，则23ADEMNFFMNCBVVV．探究：本题中所用的两种方法就是求不规则几何体体积的两种基本方法，方法一是对不规则几何体进行分割，分割后每一部分都成为规则几何体，套用公式求出体积后相加就是所求不规则几何体的体积；方法二则是在原不规则几何体的基础上补上一个几何体，使之成为规则几何体，求出体积后再减去补上的几何体的体积即得所求几何体体积，两种解法都体现了转化的思想方法．4．线面位置关系的判断线面位置关系的判断是立体几何的基本知识与基本技能，因而是高考的必考内容之一，一般出现在选择、填空题中，常常与命题等有关问题融合在一起进行考查．例4给出下列关于互不重合的直线mnl，，和平面，的四个命题：①mlA，，点Am，则l与m不共面；②lm，是异面直线，lm∥，∥，且nl，nm，则n；③若lm∥，∥，∥，则lm∥；④若lmlmAlm，，，∥，∥，则∥，其中为假命题的是（）Ａ．①Ｂ．②Ｃ．③Ｄ．④解析：本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，命题③中当用心爱心专心lm∥，∥，∥时，直线l与m可以平行，也可以相交或异面，因此该命题是错误的，故选（Ｃ）．探究：这种题型的解法通常是紧扣定义，利用基本定理或反证法进行推理，有时可借助常用的模型进行判断．要求概念明确，关系清楚，基本运算熟练，还要特别注意与平面几何中有关结论的区别，防止负迁移．5．图形的展开与折叠问题图形的展开与折叠问题主要考查同学们的空间想象能力，它最能体现出立体几何的特点，通过图形的展开与折叠问题，考查最值问题，范围问题，空间角与距离的求解，位置关系的判断等都是高考的重要题型．例5如图7，在直三棱柱111ABCABC中，2ABBC，1290BBABC，，EF，分别为111AACB，的中点，沿...