第五章数列[深研高考·备考导航]为教师备课、授课提供丰富教学资源[五年考情][重点关注]1．从近五年全国卷高考试题来看：数列一般有两道客观题或一道解答题，其中解答题与解三角形交替考查，中低档难度．2．从知识上看：主要考查等差数列、等比数列、an与Sn的关系、递推公式以及数列求和，注重数列与函数、方程、不等式的交汇命题．3．从能力上看：突出对函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的考查，加大对探究、创新能力的考查力度．[导学心语]1．重视等差、等比数列的复习，正确理解等差、等比数列的概念，掌握等差、等比数列的通项公式、前n项和公式，灵活运用公式进行等差、等比数列基本量的计算．2．重视an与Sn关系、递推关系的理解与应用，加强由Sn求an，由递推关系求通项，由递推关系证明等差、等比数列的练习．3．数列是特殊的函数，要善于用函数的性质，解决与数列有关的最值问题，等差(比)数列中共涉及五个量a1，an，Sn，d(q)，n，“知三求二”，体现了方程思想的应用．一般数列求和，首先要考虑是否能转化为等差(比)数列求和，再考虑错位相减、倒序相加、裂项相消、分组法等求和方法．重视发散思维、创新思维，有意识地培养创新能力．第一节数列的概念与简单表示法[考纲传真]1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类函数．1．数列的定义1按照一定次序排列着的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．2．数列的分类3.数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和解析法．4．数列的通项公式如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式．5．若一个数列首项确定，其余各项用an与an－1的关系式表示(如an＝2an－1＋1，n≥2且n∈N*)，则这个关系式称为数列的递推公式．6．an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，通项为an，则an＝1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有数列的第n项都能使用公式表达．()(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．()(3)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.()(4)若已知数列{an}的递推公式为an＋1＝，且a2＝1，则可以写出数列{an}的任何一项．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为()A．15B．16C．49D．64A[当n＝8时，a8＝S8－S7＝82－72＝15.]3．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫作三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图511)．图511则第7个三角形数是()A．27B．28C．29D．302B[由题图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.]4．(教材改编)数列1，，，，，…的一个通项公式an是__________.【导学号：66482230】[由已知得，数列可写成，，，…，故通项为.]5．(2014·全国卷Ⅱ)数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝__________.[由an＋1＝，得an＝1－， a8＝2，∴a7＝1－＝，a6＝1－＝－1，a5＝1－＝2，…，∴{an}是以3为周期的数列，∴a1＝a7＝.]由数列的前几项归纳数列的通项公式写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…；(2)，，，，，…；(3)－1,7，－13,19，…；(4)3,33,333,3333，….[解](1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.3分(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以an＝.6分(3)数列中各项的符号可通过(－1)n表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6.故通项公式为an＝(－1)n(6n－5).9分(4)将数列各项改写为，，，，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以an＝(10n－1).12分[规律方法]1.求数列通项时，要抓住以下几个特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想．2．若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整，可代入验证归纳的正确性．[变式训练1](1)数列0，，，...
